contrôles en terminale ES

contrôle du 17 avril 2010

thèmes abordés

  • Intégration.
  • Ajustement exponentiel.
  • Probabilités.
  • Fonction exponentielle.
  • Graphe probabiliste.

exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des  questions, une seule des réponses  A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.  
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0, 5 point. L'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.


  1. F est la primitive de la fonction f définie sur , qui prend la valeur 3 en − 1, si -11ftdt=1 alors  :

     A. F1=-2

     B. F1=2

     C. F1=4

  2. On donne le tableau de variation d'une fonction f définie et dérivable sur :

    x− ∞13 + ∞
    fx

    − 2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    1


    On peut affirmer que :

     A. -20fxdx>0

     B. 24fxdx>0

     C. 53fxdx>0

  3. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f définie sur par fx=x2-x+14.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    L'aire exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré est égale à :

     A.  13

     B. 23

     C. 43

  4. Soit f une fonction définie et dérivable sur 0+ telle que pour tout réel x strictement positif, 1x<fx<1x+1x2 alors :

     A. 1<e-11fxdx<e

     B. 1e<e-11fxdx<1e+1e2

     C. e<e-11fxdx<e+e-1


exercice 2 : commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'Indice du PIB par habitant en Turquie, (base pays membres de l'OCDE 100 en 2000) :

Source : OCDE
Année 20002001200220032004200520062007
Rang de l'année xi01234567
PIB yi35,833,234,83638,841,944,245,6
  1. Une première estimation du taux de croissance.

    1. Calculer le pourcentage d'augmentation de l'indice du PIB par habitant entre 2000 et 2007.

    2. En déduire le pourcentage d'augmentation annuel moyen de l'indice du PIB par habitant entre 2000 et 2007.

  2. Une deuxième estimation du taux de croissance. On pose z=lny.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis au centième.

      xi01234567
      zi=lnyi3,58       
    2. Déterminer une équation de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice.

    3. Montrer que : y=32,95×1,046x (résultats arrondis au centième).

    4. En déduire une estimation du taux de croissance annuel moyen de l'indice du PIB par habitant en Turquie entre 2000 et 2007.

  3. À l'aide de l'ajustement obtenu à la question 2c, déterminer l'année à partir de laquelle, l'indice du PIB par habitant en Turquie sera supérieur à 100.


exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise fabrique un composant pour ordinateur en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 5 composants sur mille sortant de son usine sont défectueux.
L'entreprise décide de mettre en place un test de fiabilité de ces articles avant leur mise en vente.
Parmi les composants en parfait état, 94% réussissent le test et parmi ceux défectueux, seulement 2% réussissent le test.
On choisit un composant au hasard et on considère les événements suivants :
D  « le composant est défectueux » ;
T  « le composant passe le test avec succès ».

  1. Quelle est la probabilité qu'un composant soit défectueux et qu'il ne réussisse pas le test ?

  2. Montrer que la probabilité qu'un composant ne réussisse pas le test est égale à 0,0646.

  3. Quelle est la probabilité qu'un composant n'ayant pas passé le test avec succès soit défectueux ?

  4. On prélève au hasard trois composants qui n'ont pas passé le test avec succès, on suppose que le nombre de composants est suffisamment  grand pour considérer ces trois prélèvements comme  étant indépendants.
    Quelle est la probabilité qu'un composant au moins ne soit pas défectueux ?


exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un industriel décide de mettre sur le marché un nouveau produit. Afin de promouvoir celui-ci, il souhaite lancer une campagne hebdomadaire de publicité.
Avant le lancement de cette campagne, on contrôle l'impact de cette campagne auprès d'un panel de consommateurs.
On trouve ceux qui ont une opinion favorable (F), ceux qui sont neutres (N) et ceux qui ont une opinion négative (R). On a constaté que d'une semaine sur l'autre :

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets F, N etR.

  2. On note M la matrice de transition associée à ce graphe. Compléter M=0,280,10,320,10,7.

  3. L'industriel décide de lancer la campagne publicitaire.
    Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne Pn=anbncn, où an désigne la probabilité qu'un consommateur touché par la campagne soit favorable au produit la semaine n, bn la probabilité que ce consommateur soit neutre la semaine n et cn la probabilité que ce consommateur ait une opinion négative de ce produit la semaine n.
    La semaine du début de la campagne est notée semaine 0. On a P0=010.

    1. Montrer que l'état probabiliste une semaine après le début de la campagne est P1=0,320,580,1.

    2. Déterminer l'état probabiliste P3. Interpréter ce résultat.

    3. Soit P=ab0,25, la matrice ligne de l'état probabiliste stable du système. Déterminer a et b.

    4. En ne prenant en compte que les opinions favorables, combien de semaines devrait durer la campagne publicitaire ?


exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur par fx=11+ex. On désigne par f la fonction dérivée def .
Dans le repère orthogonal de l'annexe  ci-dessous, la courbe Cf tracée représente la fonction f.

partie a

  1. Calculer limx-fx et limx+fx. Interpréter graphiquement ces résultats.

  2. Calculer fx.

  3. Étudier le signe de fx suivant les valeurs de x et en déduire le sens de variation de f sur

  4. Déterminer une équation de la droite D tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse 0.

partie b

  1. Montrer que pour tout réel x, fx=ex1+ex.

  2. Soit F la primitive de f sur telle que F0=ln2. Exprimer Fx en fonction de x.

  3. Sur l'annexe ci-dessous, le domaine grisé est délimité par la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-2 et x=2.
    Calculer l'aire en cm2, de ce domaine.

annexe

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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