contrôles en terminale ES

contrôle du 17 avril 2010

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un industriel décide de mettre sur le marché un nouveau produit. Afin de promouvoir celui-ci, il souhaite lancer une campagne hebdomadaire de publicité.
Avant le lancement de cette campagne, on contrôle l'impact de cette campagne auprès d'un panel de consommateurs.
On trouve ceux qui ont une opinion favorable (F), ceux qui sont neutres (N) et ceux qui ont une opinion négative (R). On a constaté que d'une semaine sur l'autre :

  • 28 % des consommateurs ayant un avis favorable adoptent une position neutre et 10 % une opinion négative ;
  • Parmi les consommateurs ayant une opinion neutre, 32% émettent un avis favorable et 10% un avis négatif ;
  • 70 % des consommateurs ayant un avis négatif ne changent pas d'opinion et 16% adoptent un avis favorable.
  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets F, N etR.

    D'une semaine sur l'autre,

    • 28 % des consommateurs ayant un avis favorable adoptent une position neutre et 10 % une opinion négative. D'où

      la probabilité d'être dans l'état N la semaine n+1 sachant que l'on est dans l'état F la semaine n est égale à 0,28 ;
      la probabilité d'être dans l'état R la semaine n+1 sachant que l'on est dans l'état F la semaine n est égale à 0,1 ;
      la probabilité d'être dans l'état F la semaine n+1 sachant que l'on est dans l'état F la semaine n est égale à 1-(0,28+0,1)=0,62

    • Parmi les consommateurs ayant une opinion neutre, 32% émettent un avis favorable et 10% un avis négatif. D'où

      la probabilité d'être dans l'état F la semaine n+1 sachant que l'on est dans l'état N la semaine n est égale à 0,32 ;
      la probabilité d'être dans l'état R la semaine n+1 sachant que l'on est dans l'état N la semaine n est égale à 0,1 ;
      la probabilité d'être dans l'état N la semaine n+1 sachant que l'on est dans l'état N la semaine n est égale à 1-(0,32+0,1)=0,58

    • 70 % des consommateurs ayant un avis négatif ne changent pas d'opinion et 16% adoptent un avis favorable. D'où

      la probabilité d'être dans l'état R la semaine n+1 sachant que l'on est dans l'état R la semaine n est égale à 0,7 ;
      la probabilité d'être dans l'état F la semaine n+1 sachant que l'on est dans l'état R la semaine n est égale à 0,16 ;
      la probabilité d'être dans l'état N la semaine n+1 sachant que l'on est dans l'état R la semaine n est égale à 1-(0,7+0,16)=0,14

    Le graphe probabiliste est :

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. On note M la matrice de transition associée à ce graphe. Compléter M=(0,280,10,320,10,7).

    En considérant les sommets dans l'ordre F, N et R la matrice de transition associée à ce graphe est : M=(0,620,280,10,320,580,10,160,140,7)


  3. L'industriel décide de lancer la campagne publicitaire.
    Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste de la semaine n est défini par la matrice ligne Pn=(anbncn), où an désigne la probabilité qu'un consommateur touché par la campagne soit favorable au produit la semaine n, bn la probabilité que ce consommateur soit neutre la semaine n et cn la probabilité que ce consommateur ait une opinion négative de ce produit la semaine n.
    La semaine du début de la campagne est notée semaine 0. On a P0=(010).

    1. Montrer que l'état probabiliste une semaine après le début de la campagne est P1=(0,320,580,1).

      La matrice ligne décrivant l'état probabiliste une semaine après le début de la campagne est P1=P0×MSoitP1=(010)×(0,620,280,10,320,580,10,160,140,7)P1=(0,320,580,1)

      Ainsi, l'état probabiliste une semaine après le début de la campagne est P1=(0,320,580,1).


    2. Déterminer l'état probabiliste P3. Interpréter ce résultat.

      L'état probabiliste trois semaines après le début de la campagne estP3=P0×M3SoitP3=(010)×(0,620,280,10,320,580,10,160,140,7)3=(0,41440,38960,196)

      P3=(0,41440,38960,196). Trois semaines après le début de la campagne, 41,44% des consommateurs touchés par la campagne ont un avis favorable, 38,96% sont neutres et 19,6% sont réfractaires.


    3. Soit P=(ab0,25), la matrice ligne de l'état probabiliste stable du système. Déterminer a et b.

      La matrice ligne P de l'état probabiliste stable est solution de l'équation :P=P×M. Soit (ab0,25)=(ab0,25)×(0,620,280,10,320,580,10,160,140,7) avec a+b+0,25=1

      D'où a et b sont solutions du système {0,62a+0,32b+0,04=a0,28a+0,58b+0,035=b0,1a+0,1b+0,175=0,25a+b+0,25=1{-0,38a+0,32b=-0,040,28a-0,42b=-0,0350,1a+0,1b=0,075a+b=0,75

      Ainsi, a et b sont solutions du système {-0,38a+0,32b=-0,04a+b=0,75{a=0,4b=0,35

      L'état stable du système est P=(0,40,350,25).


    4. En ne prenant en compte que les opinions favorables, combien de semaines devrait durer la campagne publicitaire ?

      L'état stable du système est P=(0,40,350,25) donc sur le long terme, le pourcentage de consommateurs ayant un accueil favorable vis à vis du nouveau produit converge vers 40%. Or la troisième semaine on estime que ce pourcentage sera d'environ 41,4%.

      Une campagne de trois semaines pour le lancement de cet article semble plus judicieuse.



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