contrôles en terminale ES

Bac blanc du 26 mars 2013

Corrigé de l'exercice 1

Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. En 2010, il y avait 40 mille abonnés à cette revue. Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 85 % des abonnés renouvellent leur abonnement et 12 mille nouvelles personnes souscrivent un abonnement.
On note $a_{n}$ le nombre d'adhérents pour l'année 2010 + n ; on a donc $a_{0} = 40$ et $a_{n + 1} = 0,85 a_{n} + 12$ pour tout entier naturel n.

On considère l'algorithme suivant :

Variables :	n et S sont des entiers naturels
	A est un réel
Entrée :	Demander à l'utilisateur la valeur de S
Initialisation :	Affecter à n la valeur 0
	Affecter à A la valeur 40
Traitement :	Tant_que $A ⩽ S$ :
	Affecter à n la valeur $n + 1$ Affecter à A la valeur $0,85 \times A + 12$
	Fin Tant_que
Sortie :	Afficher n

Lorsque l'utilisateur entre la valeur $S = 70$ , l'affichage en sortie est $n = 9$ . Interpréter ce résultat.

En supposant que la suite $(a_{n})$ est croissante, cet algorithme permet de déterminer le rang n à partir duquel les termes de la suite $(a_{n})$ sont supérieurs à S

En 2019, le nombre d'abonnés à cette revue dépassera 70 mille.

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n} = a_{n} - 80$ pour tout $n ⩾ 0$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 80 \\ = & 0,85 a_{n} + 12 - 80 \\ = & 0,85 a_{n} - 68 \\ = & 0,85 \times (a_{n} - 80) \\ = & 0,85 u_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $u_{n + 1} = 0,85 u_{n}$ alors la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85.
  Calculons le premier terme de la suite $(u_{n})$ : $\begin{matrix} u_{0} = a_{0} - 80 & Soit & u_{0} = 40 - 80 = - 40 \end{matrix}$
  Ainsi, la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme $u_{0} = - 40$ .
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, $a_{n} = 80 - 40 \times {0,85}^{n}$ .
  Pour tout entier n, $u_{n} = a_{n} - 80$ , d'où pour tout entier n, $a_{n} = u_{n} + 80$ .
  Or $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme $u_{0} = - 40$ donc pour tout entier n, $u_{n} = - 40 \times {0,85}^{n}$ .
  Par conséquent, pour tout entier n, $a_{n} = 80 - 40 \times {0,85}^{n}$ .
3. Selon ce modèle, le directeur de cette revue peut-il envisager de la diffuser à 100 mille exemplaires ?
  - méthode 1
    On cherche les solutions éventuelles de l'équation $a_{n} = 100$ . Soit $\begin{matrix} 80 - 40 \times {0,85}^{n} = 100 & \Leftrightarrow & - 40 \times {0,85}^{n} = 20 \\ \Leftrightarrow & {0,85}^{n} = - 0,5 \end{matrix}$
    Or pour tout entier n, ${0,85}^{n} > 0$ , donc l'équation $a_{n} = 100$ n'a pas de solution.
    Selon ce modèle, il n'est pas possible d'espérer 100 mille abonnés.
  - méthode 2
    $0 < 0,85 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,85}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 80 - 40 \times {0,85}^{n} = 80$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 80$ . La suite $(a_{n})$ converge vers 80.
    D'autre part, pour tout entier n, $\begin{matrix} a_{n + 1} - a_{n} & = & (80 - 40 \times {0,85}^{n + 1}) - (80 - 40 \times {0,85}^{n}) \\ = & - 40 \times {0,85}^{n + 1} + 40 \times {0,85}^{n} \\ = & 40 \times {0,85}^{n} \times (1 - 0,85) \\ = & 6 \times {0,85}^{n} \end{matrix}$
    Or pour tout entier n, ${0,85}^{n} > 0$ , donc pour tout entier n, $a_{n + 1} - a_{n} > 0$ . La suite $(a_{n})$ est strictement croissante.
    La suite $(a_{n})$ est strictement croissante et converge vers 80 donc le nombre maximum d'abonnés que le directeur de cette revue peut espérer est de 80 mille.

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