contrôles en terminale ES

Bac blanc du 26 mars 2013

Corrigé de l'exercice 1

Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. En 2010, il y avait 40 mille abonnés à cette revue. Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 85 % des abonnés renouvellent leur abonnement et 12 mille nouvelles personnes souscrivent un abonnement.
On note an le nombre d'adhérents pour l'année 2010 + n ; on a donc a0=40 et an+1=0,85an+12 pour tout entier naturel n.

  1. On considère l'algorithme suivant :

    Variables :n et S sont des entiers naturels
     A est un réel
    Entrée :Demander à l'utilisateur la valeur de S 
    Initialisation :Affecter à n la valeur 0
     Affecter à A la valeur 40
    Traitement :Tant_queAS :
     

    Affecter à n la valeur n+1
    Affecter à A la valeur 0,85×A+12

     Fin Tant_que
    Sortie :Afficher n

    Lorsque l'utilisateur entre la valeur S=70, l'affichage en sortie est n=9. Interpréter ce résultat.

    En supposant que la suite an est croissante, cet algorithme permet de déterminer le rang n à partir duquel les termes de la suite an sont supérieurs à S

    En 2019, le nombre d'abonnés à cette revue dépassera 70 mille.


  2. Soit un la suite définie par un=an-80 pour tout n0.

    1. Montrer que la suite un est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Pour tout entier n, un+1=an+1-80=0,85an+12-80=0,85an-68=0,85×an-80=0,85un

      Pour tout entier n, un+1=0,85un alors la suite un est une suite géométrique de raison 0,85.

      Calculons le premier terme de la suite un : u0=a0-80Soitu0=40-80=-40

      Ainsi, la suite un est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme u0=-40.


    2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, an=80-40×0,85n.

      Pour tout entier n, un=an-80, d'où pour tout entier n, an=un+80.

      Or un est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme u0=-40 donc pour tout entier n, un=-40×0,85n.

      Par conséquent, pour tout entier n, an=80-40×0,85n.


    3. Selon ce modèle, le directeur de cette revue peut-il envisager de la diffuser à 100 mille exemplaires ?

      • méthode 1

        On cherche les solutions éventuelles de l'équation an=100. Soit 80-40×0,85n=100-40×0,85n=200,85n=-0,5

        Or pour tout entier n, 0,85n>0, donc l'équation an=100 n'a pas de solution.

        Selon ce modèle, il n'est pas possible d'espérer 100 mille abonnés.


      • méthode 2

        0<0,85<1 donc limn+0,85n=0 d'où, limn+80-40×0,85n=80. Soit limn+an=80. La suite an converge vers 80.

        D'autre part, pour tout entier n, an+1-an=80-40×0,85n+1-80-40×0,85n=-40×0,85n+1+40×0,85n=40×0,85n×1-0,85=6×0,85n

        Or pour tout entier n, 0,85n>0, donc pour tout entier n, an+1-an>0. La suite an est strictement croissante.

        La suite an est strictement croissante et converge vers 80 donc le nombre maximum d'abonnés que le directeur de cette revue peut espérer est de 80 mille.



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