Bac blanc du 26 mars 2013

Corrigé de l'exercice 4

partie a : Lecture graphique

On donne ci-dessous, la courbe $C_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.
La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse −1 est parallèle à l'axe des abscisses.

Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.

1. Donner la valeur de $f\prime \left(-1\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(-1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse −1.

   La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse −1 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-1\right)=0$.

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2. Déterminer le signe de $f\prime \left(4\right)$.

   D'après sa courbe représentative : la fonction f étant décroissante sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$, sa dérivée est négative sur cet intervalle.

   $f\prime \left(4\right)⩽0$.

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3. Déterminer une valeur approchée à l'unité près de l'aire du domaine colorié.

   Une valeur approchée à l'unité près de l'aire du domaine colorié est égale à l'aire S du trapèze MNPQ :$$S={\displaystyle \frac{\left(\mathrm{MN}+\mathrm{PQ}\right)\times \mathrm{MQ}}{2}}={\displaystyle \frac{\left(5+4\right)\times 2}{2}}=9$$

   L'aire du domaine colorié vaut environ 9 unités d'aire.

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partie b : Étude d'une fonction

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(x+6\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée et on admet que pour tout réel x, on a $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$.

1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur $ℝ$.

   Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que l'expression $\left(-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}\right)$

   D'où le tableau de variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		− 1		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$			$5{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}}$

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   calcul du maximum :

   le maximum de la fonction f est atteint pour $x=-1$ et $$f\left(-1\right)=5{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}}\approx \mathrm{6,1}$$

2. 1. Montrer que $f\prime \prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,04}x-\mathrm{0,16}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$ , pour tout réel x.

      La dérivée seconde de la fonction f est égale à la dérivée de la fonction $f\prime$. Or : $f\prime =uv$ d'où $f\prime \prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,2}\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \prime \left(x\right)& =& -\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}+\left(-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}\right)\times \left(-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\right)\hfill \\ & =& -\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\times \left(1-\mathrm{0,2}x-\mathrm{0,2}\right)\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\times \left(\mathrm{0,04}x-\mathrm{0,16}\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime \prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \prime \left(x\right)=\left(\mathrm{0,04}x-\mathrm{0,16}\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$.

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   2. Étudier la convexité de la fonction f.

      L'étude de la convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde. Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}>0$. Donc $f\prime \prime \left(x\right)$ est du même signe que l'expression $\left(\mathrm{0,04}x-\mathrm{0,16}\right)$

      D'où le tableau du signe de la dérivée seconde :

      x	$-\infty$		4		$+\infty$
      $f\prime \prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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      • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;4\right]$, la fonction f est concave.
      • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;4\right]$, la fonction f est convexe.

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   3. Montrer que la courbe représentative de f admet un point d'inflexion et déterminer ses coordonnées.

      En 4, la dérivée seconde de la fonction f s'annule en changeant de signe, donc la courbe représentative de de la fonction f admet le point d'abscisse 4 comme point d'inflexion. D'autre part, $$f\left(4\right)=10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}$$

      La courbe représentative de de la fonction f admet le point de coordonnées $\left(4;10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}\right)$ comme point d'inflexion.

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3. 1. Démontrer que la fonction F définie pour tout réel x par $F\left(x\right)=\left(-5x-55\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$ est une primitive de f sur $ℝ$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& -5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}+\left(-5x-55\right)\times \left(-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\right)\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\times \left(-5+x+11\right)\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\times \left(x+6\right)\hfill \end{array}$$

      Pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F définie pour tout réel x$F\left(x\right)=\left(-5x-55\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$ est une primitive de f sur $ℝ$.

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   2. Calculer l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_3^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ ; on donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième près.

      $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_3^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[\left(-5x-55\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\right]}_3^5}\hfill \\ & =& \left(-80{\mathrm{e}}^{-1}\right)-\left(-70{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}\right)\hfill \\ & =& 70{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}-80{\mathrm{e}}^{-1}\hfill \end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_3^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=70{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}-80{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{8,99}$

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partie c : Application économique

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle $\left[1;8\right]$ par la fonction f étudiée dans la partie B.
Le nombre $f\left(x\right)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x euros.

1. Calculer le nombre d'objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à 4 euros.

   $$f\left(4\right)=10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}\approx \mathrm{4,49}$$

   Pour un prix unitaire de 4 euros, la demande est d'environ 449 000 objets.

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2. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer la demande moyenne arrondie au millier d'objets près, lorsque le prix unitaire varie entre 3 et 5 euros.

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[3;5\right]$ est : $$m={\displaystyle \frac{1}{5-3}}\times {\displaystyle {\int }_3^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{70{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}-80{\mathrm{e}}^{-1}}{2}}\approx \mathrm{4,49}$$

   Lorsque le prix unitaire varie entre 3 et 5 euros, la demande moyenne est d'environ 449 000 objets.

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3. L'élasticité $E\left(x\right)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1 % du prix. On admet qu'une bonne approximation de $E\left(x\right)$ est donnée par : $$E\left(x\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{f\left(x\right)}}\times x\text{ sur }\left[1;8\right]$$ Calculer $E\left(4\right)$. Interpréter le résultat.

   $$E\left(4\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(4\right)}{f\left(4\right)}}\times 4={\displaystyle \frac{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}}{10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}}}}\times 4=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$$

   Lorsque le prix est de 4 euros, une augmentation de de 1 % du prix entraîne une baisse de 0,4 % de la quantité demandée.

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