contrôles en terminale ES

Bac blanc du 26 mars 2013

Corrigé de l'exercice 4

partie a : Lecture graphique

On donne ci-dessous, la courbe Cf représentative d'une fonction f définie et dérivable sur dans le plan muni d'un repère orthonormé.
La tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse −1 est parallèle à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.

  1. Donner la valeur de f-1.

    Le nombre dérivé f-1 est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse −1.

    La tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse −1 est parallèle à l'axe des abscisses donc f-1=0.


  2. Déterminer le signe de f4.

    D'après sa courbe représentative : la fonction f étant décroissante sur l'intervalle -1+, sa dérivée est négative sur cet intervalle.

    f40.


  3. Déterminer une valeur approchée à l'unité près de l'aire du domaine colorié.

    Une valeur approchée à l'unité près de l'aire du domaine colorié est égale à l'aire S du trapèze MNPQ :S=MN+PQ×MQ2=5+4×22=9

    L'aire du domaine colorié vaut environ 9 unités d'aire.


partie b : Étude d'une fonction

La fonction f est définie pour tout réel x par fx=x+6e-0,2x. On note f sa fonction dérivée et on admet que pour tout réel x, on a fx=-0,2x-0,2e-0,2x.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur .

    Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. Or pour tout réel x, e-0,2x>0. Donc fx est du même signe que l'expression -0,2x-0,2

    D'où le tableau de variations de la fonction f :

    x- − 1 +
    fx +0|| 
    fx  fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    5e0,2

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    calcul du maximum :

    le maximum de la fonction f est atteint pour x=-1 et f-1=5e0,26,1

    1. Montrer que f′′x=0,04x-0,16e-0,2x , pour tout réel x.

      La dérivée seconde de la fonction f est égale à la dérivée de la fonction f. Or : f=uv d'où f′′=uv+uv avec pour tout réel x, {ux=-0,2x-0,2;ux=-0,2vx=e-0,2x;vx=-0,2e-0,2x

      Soit pour tout réel x, f′′x=-0,2e-0,2x+-0,2x-0,2×-0,2e-0,2x=-0,2e-0,2x×1-0,2x-0,2=e-0,2x×0,04x-0,16

      Ainsi, f′′ est la fonction définie pour tout réel x par f′′x=0,04x-0,16e-0,2x.


    2. Étudier la convexité de la fonction f.

      L'étude de la convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde. Or pour tout réel x, e-0,2x>0. Donc f′′x est du même signe que l'expression 0,04x-0,16

      D'où le tableau du signe de la dérivée seconde :

      x- 4 +
      f′′x 0||+ 

      • Sur l'intervalle -4, la fonction f est concave.
      • Sur l'intervalle 4+, la fonction f est convexe.

    3. Montrer que la courbe représentative de f admet un point d'inflexion et déterminer ses coordonnées.

      En 4, la dérivée seconde de la fonction f s'annule en changeant de signe, donc la courbe représentative de de la fonction f admet le point d'abscisse 4 comme point d'inflexion. D'autre part, f4=10e-0,8

      La courbe représentative de de la fonction f admet le point de coordonnées 410e-0,8 comme point d'inflexion.


    1. Démontrer que la fonction F définie pour tout réel x par Fx=-5x-55e-0,2x est une primitive de f sur .

      Pour tout réel x, Fx=-5e-0,2x+-5x-55×-0,2e-0,2x=e-0,2x×-5+x+11=e-0,2x×x+6

      Pour tout réel x, Fx=fx donc la fonction F définie pour tout réel xFx=-5x-55e-0,2x est une primitive de f sur .


    2. Calculer l'intégrale I=35fxdx ; on donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième près.

      35fxdx=-5x-55e-0,2x35=-80e-1--70e-0,6=70e-0,6-80e-1

      35fxdx=70e-0,6-80e-18,99


partie c : Application économique

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle 18 par la fonction f étudiée dans la partie B.
Le nombre fx représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x euros.

  1. Calculer le nombre d'objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à 4 euros.

    f4=10e-0,84,49

    Pour un prix unitaire de 4 euros, la demande est d'environ 449 000 objets.


  2. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer la demande moyenne arrondie au millier d'objets près, lorsque le prix unitaire varie entre 3 et 5 euros.

    La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle 35 est : m=15-3×35fxdx=70e-0,6-80e-124,49

    Lorsque le prix unitaire varie entre 3 et 5 euros, la demande moyenne est d'environ 449 000 objets.


  3. L'élasticité Ex de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1 % du prix. On admet qu'une bonne approximation de Ex est donnée par : Ex=fxfx×x sur 18 Calculer E4. Interpréter le résultat.

    E4=f4f4×4=-e-0,810e-0,8×4=-25

    Lorsque le prix est de 4 euros, une augmentation de de 1 % du prix entraîne une baisse de 0,4 % de la quantité demandée.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.