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Bac blanc du 26 mars 2013

Corrigé de l'exercice 3

Une enquête est réalisée auprès des clients d'une compagnie aérienne. Elle révèle que 40% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que 35% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons.
Sur l'ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en première classe et le reste en seconde classe.
En fait, 60% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe, alors que seulement 20% des clients pour raison touristiques voyagent en première classe.

On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque client à la même probabilité d'être choisi.

On note :

A l'évènement « le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles »
T l'évènement « le client interrogé voyage pour des raisons touristiques »
D l'évènement « le client interrogé voyage pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques »
V l'évènement « le client interrogé voyage en première classe ».

Si E et F sont deux évènements, on note pE la probabilité que E soit réalisé, et pFE la probabilité que E soit réalisé sachant que F est réalisé. D'autre part, on notera pE¯ l'évènement contraire de E.

  1. Déterminer : pA, pT, pV, pAV et pTV.

    D'après les données de l'énoncé :

    • 40% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles alors, pA=0,4.


    • 35% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques alors, pT=0,35.


    • Sur l'ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en première classe alors, pV=0,4.


    • 60% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe alors, pAV=0,6.


    • 20% des clients pour raison touristiques voyagent en première classe alors, pTV=0,2.


    On peut représenter la situation à l'aide d'un arbre.

    Arbre pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles.

      pVA=pAV×pA=0,6×0,4=0,24

      La probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles est égale à 0,24.


    2. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques.

      pVT=pTV×pT=0,2×0,35=0,07

      La probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques est égale à 0,07.


    3. En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques.

      A, T et D forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :pB=pBA+pBA¯
      pV=pVA+pVT+pVD

      D'où pVD=pV-pVA-pVT=0,4-0,24-0,07=0,09

      La probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques est égale à 0,09.


  2. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe.

    pVA=pVApV=0,240,4=0,6

    La probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe est égale à 0,6.


  3. Soit un entier n supérieur ou égal à 2. On choisit n clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante.
    On note pn la probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe.

    1. Prouver que : pn=1-0,4n.

      Choisir n clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante, est la répétition de n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre de clients qui voyagent en première classe est une loi binomiale de paramètres n et 0,4.

      La probabilité que les n clients voyagent en première classe est qn=pVn=0,4n.

      L'évènement "au moins un de ces clients voyage en seconde classe" est l'évènement contraire de l'évènement "tous les clients voyagent en première classe".

      Donc pn=1-0,4n.


    2. Déterminer le plus petit entier n pour lequel pn>0,9999.

      pn>0,99991-0,4n>0,9999-0,4n>-0,00010,4n<10-4ln0,4n<ln10-4La fonction logarithme est croissantenln0,4<ln10-4Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier  nlnan=nlnan>ln10-4ln0,4ln0,4  négatif

      Or ln10-4ln0,410,0518 par conséquent :

      Le plus petit entier n pour lequel pn>0,9999 est 11.



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