contrôles en terminale ES

Bac blanc du 26 mars 2013

thèmes abordés

  • Suite, algorithme.
  • Matrices.
  • Probabilités conditionnelles, loi binomiale.
  • Étude d'une fonction exponentielle, intégrale et aire.

exercice 1 : commun à tous les Élèves

Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement. En 2010, il y avait 40 mille abonnés à cette revue. Depuis cette date, on a remarqué que chaque année 85 % des abonnés renouvellent leur abonnement et 12 mille nouvelles personnes souscrivent un abonnement.
On note an le nombre d'adhérents pour l'année 2010 + n ; on a donc a0=40 et an+1=0,85an+12 pour tout entier naturel n.

  1. On considère l'algorithme suivant :

    Variables :n et S sont des entiers naturels
     A est un réel
    Entrée :Demander à l'utilisateur la valeur de S
    Initialisation :Affecter à n la valeur 0
     Affecter à A la valeur 40
    Traitement :Tant_queAS :
     

    Affecter à n la valeur n+1
    Affecter à A la valeur 0,85×A+12

     Fin Tant_que
    Sortie :Afficher n

    Lorsque l'utilisateur entre la valeur S=70, l'affichage en sortie est n=9. Interpréter ce résultat.

  2. Soit un la suite définie par un=an-80 pour tout n0.

    1. Montrer que la suite un est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, an=80-40×0,85n.

    3. Selon ce modèle, le directeur de cette revue peut-il envisager de la diffuser à 100 mille exemplaires ?


exercice 2 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère les matrices suivantes : A=164-4-18-45308-7etP=10-1-21121-2

  1. Calculer la matrice B=AP.

  2. Déterminer la matrice P-1.

  3. On pose D=P-1AP=P-1B. Calculer D.

    1. Exprimer A en fonction de D.

    2. Exprimer alors A2 puis A3 en fonction de D, D2, D3 et P-1.

  4. On admettra que, pour tout entier n strictement positif, on a : An=PDnP-1 et Dn=000010004n. Déterminer les coefficients de An en fonction de n.


exercice 3 : commun à tous les Élèves

D'après sujet bac Polynésie 2006

Une enquête est réalisée auprès des clients d'une compagnie aérienne. Elle révèle que 40% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles, que 35% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques et le reste pour diverses autres raisons.
Sur l'ensemble de la clientèle, 40% choisit de voyager en première classe et le reste en seconde classe.
En fait, 60% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe, alors que seulement 20% des clients pour raison touristiques voyagent en première classe.

On choisit au hasard un client de cette compagnie. On suppose que chaque client à la même probabilité d'être choisi.

On note :

A l'évènement « le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles »
T l'évènement « le client interrogé voyage pour des raisons touristiques »
D l'évènement « le client interrogé voyage pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques »
V l'évènement « le client interrogé voyage en première classe ».

Si E et F sont deux évènements, on note pE la probabilité que E soit réalisé, et pFE la probabilité que E soit réalisé sachant que F est réalisé. D'autre part, on notera pE¯ l'évènement contraire de E.

  1. Déterminer : pA, pT, pV, pAV et pTV.

    1. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles.

    2. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques.

    3. En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques.

  2. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu'il a choisi la première classe.

  3. Soit un entier n supérieur ou égal à 2. On choisit n clients de cette compagnie aérienne d'une façon indépendante.
    On note pn la probabilité qu'au moins un de ces clients voyage en seconde classe.

    1. Prouver que : pn=1-0,4n.

    2. Déterminer le plus petit entier n pour lequel pn>0,9999.


exercice 4 : commun à tous les Élèves

partie a : Lecture graphique

On donne ci-dessous, la courbe Cf représentative d'une fonction f définie et dérivable sur dans le plan muni d'un repère orthonormé.
La tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse −1 est parallèle à l'axe des abscisses.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Pour chacune des questions qui suivent, toute réponse sera justifiée.

  1. Donner la valeur de f-1.

  2. Déterminer le signe de f4.

  3. Déterminer une valeur approchée à l'unité près de l'aire du domaine colorié.

partie b : Étude d'une fonction

La fonction f est définie pour tout réel x par fx=x+6e-0,2x.
On note f sa fonction dérivée et on admet que pour tout réel x, on a fx=-0,2x-0,2e-0,2x.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur .

    1. Montrer que fx=0,04x-0,16e-0,2x , pour tout réel x.

    2. Étudier la convexité de la fonction f.

    3. Montrer que la courbe représentative de f admet un point d'inflexion et déterminer ses coordonnées.

    1. Démontrer que la fonction F définie pour tout réel x par Fx=-5x-55e-0,2x est une primitive de f sur .

    2. Calculer l'intégrale I=35fxdx ; on donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au centième près.

partie c : Application économique

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle 18 par la fonction f étudiée dans la partie B.
Le nombre fx représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x euros.

  1. Calculer le nombre d'objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à 4 euros.

  2. En utilisant les résultats de la partie B, déterminer la demande moyenne arrondie au millier d'objets près, lorsque le prix unitaire varie entre 3 et 5 euros.

  3. L'élasticité Ex de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1 % du prix. On admet qu'une bonne approximation de Ex est donnée par : Ex=fxfx×x sur 18 Calculer E4. Interpréter le résultat.



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