contrôles en terminale ES

Bac blanc du 26 mars 2013

Corrigé de l'exercice 2 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère les matrices suivantes : $\begin{matrix} A = (\begin{array}{r} 16 & 4 & - 4 \\ - 18 & - 4 & 5 \\ 30 & 8 & - 7 \end{array}) & et & P = (\begin{array}{r} 1 & 0 & - 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & - 2 \end{array}) \end{matrix}$

Calculer la matrice $B = A P$ .
$A P = (\begin{array}{r} 16 & 4 & - 4 \\ - 18 & - 4 & 5 \\ 30 & 8 & - 7 \end{array}) \times (\begin{array}{r} 1 & 0 & - 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & - 2 \end{array}) = (\begin{array}{r} 0 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & - 8 \end{array})$
La matrice $B = (\begin{array}{r} 0 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & - 8 \end{array})$
Déterminer la matrice $P^{- 1}$ .
À l'aide de la calculatrice, on trouve $P^{- 1} = (\begin{array}{r} - 3 & - 1 & 1 \\ - 2 & 0 & 1 \\ - 4 & - 1 & 1 \end{array})$
On pose $D = P^{- 1} A P = P^{- 1} B$ . Calculer D.
$P^{- 1} B = (\begin{array}{r} - 3 & - 1 & 1 \\ - 2 & 0 & 1 \\ - 4 & - 1 & 1 \end{array}) \times (\begin{array}{r} 0 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & - 8 \end{array}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$
La matrice $D = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})$
1. Exprimer A en fonction de D.
  $\begin{matrix} P^{- 1} A P = D & \Leftrightarrow & P^{- 1} A \underset{Identité}{\underset{︸}{P P^{- 1}}} = D P^{- 1} & On multiplie à droite les deux membres par la matrice P^{- 1} \\ \Leftrightarrow & P^{- 1} A = D P^{- 1} \\ \Leftrightarrow & \underset{Identité}{\underset{︸}{P P^{- 1}}} A = P D P^{- 1} & On multiplie à gauche les deux membres par la matrice P \\ \Leftrightarrow & A = P D P^{- 1} \end{matrix}$
  Ainsi, $A = P D P^{- 1}$
2. Exprimer alors $A^{2}$ puis $A^{3}$ en fonction de D, $D^{2}$ , $D^{3}$ et $P^{- 1}$ .
  $A^{2} = (P D P^{- 1}) \times (P D P^{- 1}) = P D \underset{Identité}{\underset{︸}{P^{- 1} P}} D P^{- 1} = P D^{2} P^{- 1}$
  $A^{3} = A^{2} \times A = P D^{2} \underset{Identité}{\underset{︸}{P^{- 1} P}} D P^{- 1} = P D^{3} P^{- 1}$
  Ainsi, $A^{2} = P D^{2} P^{- 1}$ et $A^{3} = P D^{3} P^{- 1}$
On admettra que, pour tout entier n strictement positif, on a : $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ et $D^{n} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4^{n} \end{matrix})$ . Déterminer les coefficients de $A^{n}$ en fonction de n.
$A^{n} = P D^{n} P^{- 1} = (\begin{array}{r} 1 & 0 & - 1 \\ - 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & - 2 \end{array}) \times (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4^{n} \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} - 3 & - 1 & 1 \\ - 2 & 0 & 1 \\ - 4 & - 1 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{r} 0 & 0 & - 4^{n} \\ 0 & 1 & 4^{n} \\ 0 & 1 & - 2 \times 4^{n} \end{array}) \times (\begin{array}{r} - 3 & - 1 & 1 \\ - 2 & 0 & 1 \\ - 4 & - 1 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{r} 4 \times 4^{n} & 4^{n} & - 4^{n} \\ - 4 \times 4^{n} - 2 & - 4^{n} & 4^{n} + 1 \\ 8 \times 4^{n} - 2 & 2 \times 4^{n} & 1 - 2 \times 4^{n} \end{array})$
La matrice $A^{n} = (\begin{array}{r} 4^{n + 1} & 4^{n} & - 4^{n} \\ - 4^{n + 1} - 2 & - 4^{n} & 4^{n} + 1 \\ 2 \times 4^{n + 1} - 2 & 2 \times 4^{n} & 1 - 2 \times 4^{n} \end{array})$

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