contrôles en terminale ES

Bac blanc du 26 mars 2013

Corrigé de l'exercice 2 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère les matrices suivantes : A=164-4-18-45308-7etP=10-1-21121-2

  1. Calculer la matrice B=AP.

    AP=164-4-18-45308-7×10-1-21121-2=00-401401-8

    La matrice B=00-401401-8


  2. Déterminer la matrice P-1.

    À l'aide de la calculatrice, on trouve P-1=-3-11-201-4-11


  3. On pose D=P-1AP=P-1B. Calculer D.

    P-1B=-3-11-201-4-11×00-401401-8=000010004

    La matrice D=000010004


    1. Exprimer A en fonction de D.

      P-1AP=DP-1APP-1Identité=DP-1On multiplie à droite les deux membres par la matrice P-1P-1A=DP-1PP-1IdentitéA=PDP-1On multiplie à gauche les deux membres par la matrice PA=PDP-1

      Ainsi, A=PDP-1


    2. Exprimer alors A2 puis A3 en fonction de D, D2, D3 et P-1.

      A2=PDP-1×PDP-1=PDP-1PIdentitéDP-1=PD2P-1

      A3=A2×A=PD2P-1PIdentitéDP-1=PD3P-1

      Ainsi, A2=PD2P-1 et A3=PD3P-1


  4. On admettra que, pour tout entier n strictement positif, on a : An=PDnP-1 et Dn=000010004n. Déterminer les coefficients de An en fonction de n.

    An=PDnP-1=10-1-21121-2×000010004n×-3-11-201-4-11=00-4n014n01-2×4n×-3-11-201-4-11=4×4n4n-4n-4×4n-2-4n4n+18×4n-22×4n1-2×4n

    La matrice An=4n+14n-4n-4n+1-2-4n4n+12×4n+1-22×4n1-2×4n



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