contrôles en terminale ES

contrôle du 26 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 4

Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f

f est définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{e^{x} + 1}{x}$ .
f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f = \frac{u}{v}$ d'où $f' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ avec pour tout réel $x \in] 0; + \infty [$ : ${\begin{array}{l} u (x) = e^{x} + 1 & d'où & u' (x) = e^{x} \\ et \\ v (x) = x & d'où & v' (x) = 1 \end{array}$
Soit pour tout réel x strictement positif, $\begin{matrix} f' (x) & = & \frac{x e^{x} - (e^{x} + 1)}{x^{2}} & = & \frac{x e^{x} - e^{x} - 1}{x^{2}} \end{matrix}$
La dérivée de la fonction f est la fonction $f'$ définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f' (x) = \frac{(x - 1) e^{x} - 1}{x^{2}}$ .
f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ .
Pour tout réel x, $\begin{matrix} f (x) = e^{x} - \frac{1}{e^{x}} = e^{x} - e^{- x} & d'où & f' (x) = e^{x} + e^{- x} \end{matrix}$
La dérivée de la fonction f est la fonction $f'$ définie sur $ℝ$ par $f' (x) = e^{x} + e^{- x}$ .
f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = e^{x^{2} - x + 1}$ .
Pour tout réel x, on pose $u (x) = x^{2} - x + 1$ . La fonction u est dérivable sur $ℝ$ et pour tout réel x, $u' (x) = 2 x - 1$ .
Par conséquent, la fonction $f = e^{u}$ est dérivable sur $ℝ$ et $f' = u' e^{u}$
La dérivée de la fonction f est la fonction $f'$ définie sur $ℝ$ par $f' (x) = (2 x - 1) e^{x^{2} - x + 1}$ .

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