contrôles en terminale ES

contrôle du 26 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 5

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(4-2x)×e-0,5x.
On note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f.

    1. Montrer que pour tout nombre réel x, on a : f(x)=(x-4)×e-0,5x.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=4-2x;u(x)=-2v(x)=e-0,5x;v(x)=-0,5e-0,5x

      Soit pour tout réel x, f(x)=-2e-0,5x+(4-2x)×(-0,5e-0,5x)=-2e-0,5x-2e-0,5x+xe-0,5x=-4e-0,5x+xe-0,5x=(x-4)e-0,5x

      f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(x-4)e-0,5x


    2. Étudier les variations de la fonction f.

      Pour tout réel x, e-0,5x>0 donc f(x) est du même signe que (x-4).

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

      x- 4 +
      f(x) 0||+ 
      f(x)  fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -4e-2

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  1. Montrer que l'équation f(x)=1 admet une unique solution α dans l'intervalle [0;2].
    Donner une valeur arrondie à 10− 2 près de α.

    f(0)=4 et f(2)=0. Sur l'intervalle [0;2], la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et f(2)<1<f(0) alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b]. :

    l'équation f(x)=1 admet une unique solution α[0;2]. À l'aide de la calculatrice, on trouve α1,12


  2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.

    Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :y=f(0)×x+f(0)

    Or f(0)=4 et f(0)=-4 d'où :

    La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 a pour équation y=-4x+4.


    1. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, {u(x)=x-4;u(x)=1v(x)=e-0,5x;v(x)=-0,5e-0,5x

      Soit pour tout réel x, f(x)=e-0,5x+(x-4)×(-0,5e-0,5x)=e-0,5x-0,5xe-0,5x+2e-0,5x=(3-0,5x)e-0,5x

      Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur par f(x)=(3-0,5x)e-0,5x. Sur , f(x) est du même signe que (3-0,5x)

      x-6+
      Signe de f(x)+0||
      Convexité de f

      f est convexe

       

      f est concave

       

      La fonction f est convexe sur l'intervalle ]-;6] et concave sur l'intervalle [6;+[.


    2. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=6 donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 6. D'autre part, f(6)=-8e-3

      La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion de coordonnées (6;-8e-3).



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