Soit f la fonction définie pour tout réel x par .
On note la fonction dérivée de la fonction f et la dérivée seconde de la fonction f.
Montrer que pour tout nombre réel x, on a : .
f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
est la fonction définie pour tout réel x par
Étudier les variations de la fonction f.
Pour tout réel x, donc est du même signe que .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :
x | 4 | ||||
− | + | ||||
Montrer que l'équation admet une unique solution α dans l'intervalle .
Donner une valeur arrondie à 10− 2 près de α.
et . Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . :
l'équation admet une unique solution . À l'aide de la calculatrice, on trouve
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :
Or et d'où :
La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 a pour équation .
Étudier la convexité de la fonction f.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde
est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x,
Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur par . Sur , est du même signe que
x | 6 | ||||
Signe de | + | − | |||
Convexité de f | f est convexe | f est concave |
La fonction f est convexe sur l'intervalle et concave sur l'intervalle .
La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 6. D'autre part,
La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion de coordonnées .
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