contrôle du 26 septembre 2015

Corrigé de l'exercice 2

partie a

1. Déterminer $f\prime \left(0\right)$ et $f\prime \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

   • La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses d'où $f\prime \left(0\right)=0$

     ---

   • Le nombre dérivé $f\prime \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B\left({\displaystyle \frac{5}{2}};{\displaystyle \frac{27}{4}}\right)$. Comme cette tangente passe également par le point de coordonnées $\left(3;8\right)$, on en déduit que $$f\prime \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{8-{\displaystyle \frac{27}{4}}}{3-{\displaystyle \frac{5}{2}}}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$$

     Ainsi, $f\prime \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{5}{2}}$

     ---

2. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse.

   1. $f\prime \left(-5\right)\times f\prime \left(2\right)⩽0$

      Sur l'intervalle $\left[-6;3\right]$, la fonction f est croissante donc $f\prime \left(-5\right)⩾0$ et $f\prime \left(2\right)⩾0$. Par conséquent, $f\prime \left(-5\right)\times f\prime \left(2\right)⩾0$

      L'affirmation $f\prime \left(-5\right)\times f\prime \left(2\right)⩽0$ est fausse.

      ---

   2. $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(4\right)⩽0$

      Sur l'intervalle $\left[0;3\right]$, la fonction f est croissante donc $f\prime \left(2\right)⩾0$. Sur l'intervalle $\left[3;5\right]$, la fonction f est décroissante donc $f\prime \left(4\right)⩽0$. Par conséquent, $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(4\right)⩽0$

      L'affirmation $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(4\right)⩽0$ est vraie.

      ---

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3+x^2-4x+5}{2x^2-8x+10}}$.

1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2\times \left(x^2-8x+15\right)}{{\left(2x^2-8x+10\right)}^2}}$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x^3+x^2-4x+5& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=3x^2+2x-4\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=2x^2-8x+10& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=4x-8\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(3x^2+2x-4\right)\times \left(2x^2-8x+10\right)-\left(x^3+x^2-4x+5\right)\times \left(4x-8\right)}{{\left(2x^2-8x+10\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{\left(6x^4-24x^3+30x^2+4x^3-16x^2+20x-8x^2+32x-40\right)-\left(4x^4+4x^3-16x^2+20x-8x^3-8x^2+32x-40\right)}{{\left(2x^2-8x+10\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{2x^4-16x^3+30x^2}{{\left(2x^2-8x+10\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2\times \left(x^2-8x+15\right)}{{\left(2x^2-8x+10\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2\times \left(x^2-8x+15\right)}{{\left(2x^2-8x+10\right)}^2}}$.

   ---

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      • Le discriminant du trinôme $2x^2-8x+10$ est $\mathrm{\Delta }={\left(-8\right)}^2-4\times 2\times 10=-16$ d'où, pour tout réel x, $2x^2-8x+10>0$.

      • Le discriminant du trinôme $x^2-8x+15$ est $\mathrm{\Delta }={\left(-8\right)}^2-4\times 1\times 15=4$. Le trinôme admet deux racines $$\begin{array}{ccc}{x}_1={\displaystyle \frac{8-2}{2}}=3& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{8+2}{2}}=5\end{array}$$

      Nous pouvons établir le signe de $f\prime \left(x\right)$ à l'aide d'un tableau de signe

      x	$-\infty$		0		3		5		$+\infty$
      $2x^2$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+	$|$	+
      $x^2-8x+15$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $2x^2-8x+10$		+	$|$	+	$|$	+	$|$	+
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Donner le tableau de variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	− ∞		3		5		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			${\displaystyle \frac{29}{4}}$		${\displaystyle \frac{27}{4}}$

3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[-5;0\right]$.
   Déterminer la valeur arrondie à 10⁻² près de α.

   $f\left(-5\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$ et $f\left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

   Sur l'intervalle $\left[-5;0\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(-5\right)<0<f\left(0\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[-5;0\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx -\mathrm{2,94}$

   ---

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente (T) à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)={\displaystyle \frac{3}{4}}$ et $f\prime \left(1\right)=1$ d'où une équation de la tangente (T):$$\begin{array}{ccc}y=\left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{3}{4}}& \iff & y=x-{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

   La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=x-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.