contrôles en terminale ES

contrôle du 08 février 2016

thèmes abordés

  • Probabilités discrètes.
  • Suites.
  • Graphes.
  • Fonction logarithme.

exercice 1 : commun à tous les Élèves

partie a

Une usine produit des articles dont 3 % présentent des défauts. En vue d'un contrôle de qualité, on constitue au hasard un échantillon de 60 articles tirés de la production.
La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à la répétition de 60 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On désigne par X la variable aléatoire qui associe à tout échantillon de 60 articles le nombre d'articles défectueux.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?

  2. Déterminer une valeur arrondie à 10-3 près de chacun des évènements suivants :

    1. « L'échantillon contient au moins un article défectueux » ;

    2. « L'échantillon contient au plus trois articles défectueux ».

partie b

La direction de l'usine décide de mettre en place un contrôle de qualité. Le contrôle des articles produits s'effectue selon les probabilités conditionnelles suivantes :

Les articles acceptés à l'issue du contrôle de qualité sont mis en vente.

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un article qui va être contrôlé.
On note les évènements suivants :

D¯ et V¯ sont respectivement les évènements contraires des évènements D et V.

  1. Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

    Arbre probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer la probabilité qu'un article présente des défauts et soit mis en vente.

    2. Montrer que la probabilité qu'un article soit mis en vente à l'issue du contrôle de qualité est égale à 0,9615.

  2. La direction de l'usine souhaite que parmi les articles mis en vente il y ait moins de 0,1 % d'articles défectueux.
    Ce contrôle de qualité permet-il d'atteindre cet objectif ?


exercice 2 : commun à tous les Élèves

Pour dynamiser son catalogue disponible sur internet, un industriel décide d'adopter la politique suivante :
À la fin de chaque mois, 12 % des articles référencés sont retirés du catalogue et 60 nouveaux articles sont référencés.
Le 1er janvier 2016, il y avait 250 articles référencés dans le catalogue.

On modélise le nombre d'articles référencés chaque mois à l'aide d'une suite (un).
Pour tout entier naturel n, le terme un de la suite représente le nombre d'articles référencés dans le catalogue le 1er jour du n-ième mois après le 1er janvier 2016. On a ainsi u0=250.

  1. Calculer le le nombre d'articles référencés au 1er février 2016.

  2. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a un+1=0,88un+60.

  3. On souhaite savoir à quelle date le nombre d'articles référencés sera supérieur à 350.
    On considère l'algorithme suivant :

    variables :

    N entier
    U réel

    initialisation :

    N prend la valeur 0
    U prend la valeur 250

    traitement :

    Tant que U<350
    U prend la valeur 0,88×U+60
    N prend la valeur N+1
    Fin Tant que

    Sortie :

    Afficher N

    1. Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité :

      Valeur de N01
      Valeur de U250
      Condition U<350Vraie
    2. À quelle date, le nombre d'articles référencés dans le catalogue sera-t-il supérieur ou égal à 350 ?

  4. Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite (vn) par : vn=un-500.

    1. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,88. Préciser son premier terme v0.

    2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : un=500-250×0,88n.

    3. Déterminer la limite de la suite (un). Interpréter ce résultat.

  5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Déterminer la date à laquelle le nombre d'articles référencés dans le catalogue sera supérieur à 450.


exercice 3 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

  1. Le cours d'une action a augmenté chaque mois de 4 % pendant 3 mois consécutifs puis a baissé de 12 % le mois suivant.
    Au terme des quatre mois, le cours de l'action :

     a.   n'a pas bougé

     b.  a baissé d'environ 1 %

     c.   a augmenté d'environ 1 %

     d.   a été multiplié par 1,12×0,88

  2. L'équation (2-x)e1-x2=0 admet sur :

     a.   aucune solution

     b.   une seule solution

     c.   deux solutions

     d.   trois solutions

  3. Sur , l'équation ln(x)+1=0 :

     a.   n'a pas de solution

     b.   a pour solution x=-1

     c.   a pour solution x=-e

     d.   a pour solution x=1e

La courbe (Γ) ci-dessous, est la courbe représentative de la dérivée f d'une fonction f définie sur .

Courbe représentative de la dérivée f' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La fonction f est :

     a.   concave sur [-5;3]

     b.   convexe sur [-5;3]

     c.   concave sur ]-;-3]

     d.   concave sur [-3;1]

  2. La fonction f est :

     a.   décroissante sur [-5;3]

     b.   croissante sur [-5;3]

     c.   décroissante sur ]-;-3]

     d.   croissante sur [1;+[


exercice 3 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

On considère le graphe ci-dessous :

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Donner la matrice d'adjacence M de ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique.

  2. On donne M2=(3030011020220030300110202200020241110101211010112) et M3=(06061160600220606811606002208025512125231212532).

    1. En détaillant le calcul, déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 entre les sommets A et E.

    2. Déterminer la matrice D des distances entre les sommets du graphe. En déduire le diamètre du graphe.

  3. Déterminer, en justifiant, si le graphe admet une chaîne eulérienne. Si oui, donner une telle chaîne.

partie b

Le graphe ci-dessous, modélise le réseau routier entre un fournisseur F et ses différents clients. Les arêtes sont pondérées par les distances exprimées en kilomètres.

Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Après avoir effectué une livraison chez le client C, le livreur doit retourner à l'entrepôt du fournisseur.
À l'aide d'un algorithme, déterminer le trajet le plus court pour aller de C à F en précisant la distance parcourue.


exercice 4 : commun à tous les Élèves

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par f(x)=8ln(x)+16x-16ln(2).
Sa courbe représentative, notée Cf, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, on a f(x)=8(x-2)x2. où f désigne la dérivée de f.

  2. Donner le tableau de variation de la fonction f.

partie b

  1. Résoudre graphiquement, l'inéquation f(x)x.

  2. La droite d'équation y=x est tangente à la courbe Cf en un point A d'abscisse a.

    1. Justifier que a est solution de l'équation 8(a-2)a2=1.

    2. Déterminer la valeur de a.

  3. Étudier la convexité de la fonction f.

  4. Déduire des deux questions précédentes, l'ensemble solution de l'inéquation f(x)x.



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