contrôle du 7 avril 2016

sujet a

exercice 1

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.

On note F une primitive de la fonction f.

1. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitive F.
   Déterminer la courbe associée à la fonction F.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

2. Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré.

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exercice 2

Calculer les intégrales suivantes :

1. $A={\displaystyle {\int }_{{\mathrm{e}}^{-1}}^{1}2x-{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x}$

2. $B={\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\mathrm{d}x}$

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exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$.

1. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :

   1	fmax$\left(x{\mathrm{e}}^{-0.2x},x,0,10\right)$
   		$x=5$

   Justifier que le maximum de la fonction f est atteint pour $x=5$.

2. 1. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-5x-25\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$ est une primitive de f sur $\left[0;10\right]$.

   2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.

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sujet b

exercice 1

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.

On note F une primitive de la fonction f.

1. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitive F.
   Déterminer la courbe associée à la fonction F.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

2. Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré.

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exercice 2

Calculer les intégrales suivantes :

1. $A={\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}4x+{\displaystyle \frac{2}{x}}\mathrm{d}x}$

2. $B={\displaystyle {\int }_1^{2}3x^2-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}\mathrm{d}x}$

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exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $f\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :

   1	fmax$\left(x{\mathrm{e}}^{-0.5x},x,0,10\right)$
   		$x=2$

   Justifier que le maximum de la fonction f est atteint pour $x=2$.

2. 1. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;10\right]$ par $F\left(x\right)=\left(-2x-4\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ est une primitive de f sur $\left[0;10\right]$.

   2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;10\right]$.

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