contrôle du 26 septembre 2015

exercice 1

Usines, bureaux, commerces, hôtels, etc. : les établissements constituent le tissu productif d'un territoire. En France, entre les 1^er janvier 2008 et 2013, le nombre d'établissements est passé de 3,5 millions à 4,2 millions dans les activités marchandes hors agriculture.
Cette croissance s'accompagne d'un important renouvellement des établissements sous forme d'entrées et de sorties du tissu productif.

modélisation

On considère que chaque année, sur la période entre les 1^er janvier 2008 et 2013 :

• le taux de sortie annuel moyen des établissements par le biais de cessations d'activités et transferts géographiques (déménagements) est de 17,5 % ;
• le nombre d'entrées annuel par le biais de créations d'entreprises, de reprises ou de transferts (emménagements) est de 812 000 établissements.

L'évolution nombre d'établissements est modélisée par la suite $\left(u_n\right)$ où le terme $u_n$ est le nombre, en millions, d'établissements le 1^er janvier de l'année $\left(2008+n\right)$. Ainsi, $u_0=\mathrm{3,5}$.

1. Justifier que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,825}\times u_n+\mathrm{0,812}$.

2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-\mathrm{4,64}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

   2. Exprimer $v_n$, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{4,64}-\mathrm{1,14}\times {\mathrm{0,825}}^n$.

3. Ce modèle permet-il d'obtenir une estimation fiable (approchée à moins de 0,01 millions près) du nombre d'établissements en France, au 1^er janvier 2013 ?

4. En admettant que ce modèle reste valable pour les années suivantes :

   1. Est-il possible d'envisager qu'en France, le nombre d'établissements atteigne 5 millions ?

   2. On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher l'année à partir de laquelle le nombre d'établissements sera supérieur à 4,5 millions.
      Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

      algorithme 1 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 3,5 Tant que $U⩽\mathrm{4,5}$ Affecter à U la valeur $\mathrm{4,64}-\mathrm{1,14}\times {\mathrm{0,825}}^n$ Affecter à n la valeur $n+1$ Fin Tant que Affecter à n la valeur $n+2008$ Afficher n

      algorithme 2 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 3,5 Tant que $U⩽\mathrm{4,5}$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,825}\times U+\mathrm{0,812}$ Affecter à n la valeur $n+1$ Fin Tant que Affecter à n la valeur $n+2008$ Afficher n

      algorithme 3 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 3,5 Tant que $U>\mathrm{4,5}$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,825}\times U+\mathrm{0,812}$ Affecter à n la valeur $n+1$ Fin Tant que Affecter à n la valeur $n+2008$ Afficher n

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exercice 2

partie a

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$. On sait que :

• Les points $A\left(0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ et $B\left({\displaystyle \frac{5}{2}};{\displaystyle \frac{27}{4}}\right)$ appartiennent à la courbe $C_f$.
• La tangente au point A à la courbe $C_f$ est parallèle à l'axe des abscisses.
• La tangente au point B à la courbe $C_f$ passe par le point de coordonnées $\left(3;8\right)$.

On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. À partir du graphique et des renseignements fournis :

1. Déterminer $f\prime \left(0\right)$ et $f\prime \left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

2. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse.

   1. $f\prime \left(-5\right)\times f\prime \left(2\right)⩽0$

   2. $f\prime \left(2\right)\times f\prime \left(4\right)⩽0$

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3+x^2-4x+5}{2x^2-8x+10}}$.

1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2\times \left(x^2-8x+15\right)}{{\left(2x^2-8x+10\right)}^2}}$.

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   2. Donner le tableau de variations de la fonction f.

3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[-5;0\right]$.
   Déterminer la valeur arrondie à 10⁻² près de α.

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

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