contrôle du 7 novembre 2015

exercice 1

La courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$ est tracée ci-dessous.

• Les points $A\left(0;4\right)$, $B\left(4;0\right)$ et $C\left(6;-{\displaystyle \frac{11}{4}}\right)$ appartiennent à la courbe $C_f$.
• Le point B est le seul point d'inflexion de la courbe $C_f$.
• Le point B est le seul point d'inflexion de la courbe $C_f$.

On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f et $f″$ la dérivée seconde.

1. Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est-elle convexe ?

2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et l'autre celle de $f″$.
   Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f\prime$ et celle qui représente la dérivée seconde $f″$.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point B.

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exercice 2

Simplifier les expressions suivantes :

1. $A\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x-3}}{{\mathrm{e}}^{x-2}}}\times {\mathrm{e}}^{1-2x}$

2. $B\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}+\left(1+{\mathrm{e}}^x\right)\left(1-{\mathrm{e}}^{-x}\right)$.

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exercice 3

1. Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

   1. $\left({\mathrm{e}}^x+1\right)\left({\mathrm{e}}^{-x}-1\right)=0$

   2. ${\mathrm{e}}^{1-2x}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

2. Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

   1. ${\mathrm{e}}^{2x}\times {\mathrm{e}}^{x^2}⩽1$

   2. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x}+1}{1-{\mathrm{e}}^{2x}}}⩾0$

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exercice 4

Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x^2}}{{\mathrm{e}}^{1-2x}}}$.

2. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-1}\times {\mathrm{e}}^{x^2+x+1}$.

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exercice 5

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3-2x}{{\mathrm{e}}^x}}$.

On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f et $f″$ la dérivée seconde de la fonction f.

1. 1. Montrer que pour tout nombre réel x, on a : $f\prime \left(x\right)=\left(2x-5\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   2. Étudier les variations de la fonction f.

2. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=5$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[-1;0\right]$.
   Donner la valeur arrondie à 10⁻² près de α.

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.

4. 1. Étudier la convexité de la fonction f.

   2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

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