contrôle du 20 mai 2014

Exercice 1

Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à ${10}^{-3}$

Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes métalliques.

partie a - Loi binomiale

Dans cette partie, on considère que 8 % des tubes fabriqués présentent un défaut d'usinage.
On prélève au hasard 50 tubes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tubes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 tubes, associe le nombre de tubes qui ont un défaut d'usinage.

1. Justifier que la loi de probabilité de X est la loi binomiale dont on précisera les de paramètres.

2. Calculer l'espérance mathématique $E\left(X\right)$ et l'écart type $\sigma \left(X\right)$ de la variable aléatoire X.

3. Calculer la probabilité $P\left(X=4\right)$. Interpréter le résultat.

4. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement cinq tubes au moins ont un défaut d'usinage.

partie b - Loi normale

La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque celle-ci appartient à l'intervalle $\left[195;205\right]$.
On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 200 et d'écart type 3.

1. Calculer la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur.

2. Calculer $P\left(Y⩾205\right)$.

3. Le contrôle de conformité mis en place rejette les tubes dont la longueur est inférieure à 195 millimètres.
   Quelle est la probabilité pour qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit rejeté par le contrôle de conformité ?

partie c - Intervalle de fluctuation

Le cahier des charges établit que la proportion dans la production de 4 % de tubes refusés par le contrôle de conformité est acceptable.

On veut savoir si une machine de production est correctement réglée.

1. Quelle est la taille n minimale d'un échantillon qu'il faut prélever pour utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % ?

2. On prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 200 dans lequel 9 tubes se révèlent être non conformes.

1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des tubes non conformes dans un échantillon de taille 200.

2. La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.

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Exercice 2

On sort un gâteau du four et on note que sa température est de 180° C. On suppose que la température ambiante de la cuisine est supposée constante à 20° C.
La température du gâteau est donnée par une fonction g du temps t, exprimé en heures, qui est solution de l'équation différentielle :$$\begin{array}{cc}\left(E\right):& y\prime +\mathrm{4,63}y=\mathrm{92,6}\end{array}$$

1. Résoudre l'équation différentielle (E) et donner sa solution particulière g définie par la condition initiale $g\left(0\right)=180$.

2. En utilisant l'expression de $g\left(t\right)$ trouvée :

   1. Quelle est la température, arrondie au degré près, du gâteau une demi-heure après l'avoir sorti du four ?

   2. Quel est le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à 25° C ?

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