contrôle du 14 mars 2014

Exercice 1

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
La tangente T à la courbe $C_f$ au point A passe par le point de coordonnées $\left(4;3\right)$
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction fonction f et F une primitive de la fonction fonction f.

1. Déterminer $f\prime \left(3\right)$ et $f\prime \left(5\right)$

2. Donner le tableau de variations de la fonction F.

3. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre celle de la fonction F.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

4. Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine colorié.

Exercice 2

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. 1. Résoudre dans $ℂ$ l'équation $\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)z=2\mathrm{i}$. On notera $z_1$ la solution de cette équation que l'on écrira sous forme algébrique.

   2. Déterminer la forme exponentielle de $z_1$.

2. On considère les nombres complexes $z_2$ et $z_3$ définis par $z_2={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$ et $z_3={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{12}}$.

   1. Déterminer l'écriture algébrique de $z_2$.

   2. Démontrer que $z_1\times z_3=z_2$.

   3. En déduire l'écriture algébrique de $z_3$.

   4. En déduire que $\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$ et $\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$.

Exercice 3

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;6\right]$ par $f\left(t\right)=10\times \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,8}t}-{\mathrm{e}}^{-t}\right)$.

La représentation graphique ${𝒞}_f$ de la fonction f dans un repère orthogonal est fournie ci-dessous.

1. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

   1. Montrer que $f\prime \left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{0,8}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(t\right)$ et en déduire la valeur exacte du maximum de la fonction f.

2. 1. Montrer que l'équation $f\left(t\right)=\mathrm{0,3}$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[3;4\right]$.

   2. On considère l'algorithme suivant :

      Variables :	a, b, m et r sont des nombres réels
      Initialisation :	Affecter à a la valeur 3
      	Affecter à b la valeur 4
      Entrée :	Saisir r
      Traitement :	TANT QUE $b-a>r$
      	Affecter à m la valeur ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$ SI $f\left(m\right)-\mathrm{0,3}>0$ ALORS Affecter à a la valeur m SINON Affecter à b la valeur m FIN SI
      	FIN TANT QUE
      Sortie :	Afficher a
      	Afficher b

      Faire fonctionner l'algorithme précédant avec $r=\mathrm{0,01}$ en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de $f\left(m\right)-\mathrm{0,3}$.

      Initialisation						$a=3$	$b=4$
      	$b-a$	$b-a>r$	m	$f\left(m\right)-\mathrm{0,3}$	$f\left(m\right)-\mathrm{0,3}>0$	a	b
      étape 1	1	oui	3,5	0,006	oui	3,5	4
      étape 2
      étape 3

   3. À la fin de l'exécution de l'algorithme, les variables a et b contiennent les valeurs 3,53125 et 3,539065. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.

3. Démontrer que la fonction F définie sur $\left[0;6\right]$ par $F\left(t\right)=10{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-\mathrm{1,25}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}\right)$ est une primitive de la fonction f sur $\left[0;6\right]$.

partie b

On s'intéresse à l'évolution du taux d'alcool dans le sang d'une personne, pendant les six heures suivant l'absorption d'une certaine quantité d'alcool.
Le taux d'alcool dans le sang, exprimé en g/l, de cette personne est donné en fonction du temps t, en heures, par la fonction f définie dans la partie A.

1. Déterminer à quel instant le taux est maximum et donner ce maximum arrondi à ${10}^{-2}$ près.

2. Des études ont montré que dès 0,3 g/l d'alcool dans le sang, un conducteur commet plus d'erreurs sur la route qu'en temps normal.
   Combien de temps, après absorption d'alcool, est-il prudent d'attendre pour cette personne avant de prendre sa voiture ?

3. $T_m$ est le taux d'alcool moyen pendant les quatre heures suivant l'absorption d'alcool. Donner une valeur arrondie à ${10}^{-2}$ près du taux d'alcool moyen de cette personne.

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