contrôle du 2 juin 2014

Exercice 1

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquez sur la copie le numéro de la question et justifiez votre choix.

partie a

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z=4-4\mathrm{i}$ est :

   a. $4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$

   b. $4\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$

   c. $4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   d. $4\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

2. Si $z_1=3\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$ et $z_2=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$, alors le produit $z_1\times z_2$ est un nombre complexe :

   a. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est ${\displaystyle \frac{\pi }{7}}$.	b. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est ${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$.
   c. de module 6 et dont un argument est ${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$.	d. de module 6 et dont un argument est ${\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$.

3. Si $z_1=2\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$ et $z_2=\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$, alors le quotient ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ vaut :

   a. $2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

   b. $3{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi }$

   c. $2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

   d. $-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{7\pi }{6}}$

4. On considère le nombre complexe $z=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$. L'inverse de z est égal à :

   a. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   b. $-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   c. $2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

partie b

5. On considère l'équation différentielle $y″+9y=0$, où y désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution f de cette équation est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :

   a. $f\left(x\right)=4{\mathrm{e}}^{9x}$

   b. $f\left(x\right)=\mathrm{0,2}\sin \left(9x\right)$

   c. $f\left(x\right)=-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-9x}$

   d. $f\left(x\right)=-2\cos \left(3x\right)$

6. On considère l'équation différentielle $2y\prime +6y=0$, où y désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution f de cette équation telle que $f\left(0\right)=1$ est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :

   a. $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x}+3$

   b. $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-3x}$

   c. $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-6x}$

   d. $f\left(x\right)=6{\mathrm{e}}^{-2x}$

partie c

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour.
En 2010, en France, la proportion notée p de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de $p=\mathrm{0,236}$.

7. La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à 10^-3 près :

   a. 0,236

   b. 0

   c. 0,068

   d. 0,764

8. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :
   (Les bornes de chaque intervalle sont données à 10^-3 près)

   a. $\left[\mathrm{0,198};\mathrm{0,274}\right]$

   b. $\left[\mathrm{0,134};\mathrm{0,238}\right]$

   c. $\left[\mathrm{0,19};\mathrm{0,281}\right]$

   d. $\left[\mathrm{0,192};\mathrm{0,280}\right]$

9. La taille n de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,05, vaut :

   a. $n=200$

   b. $n=400$

   c. $n=632$

   d. $n=1109$

---

Exercice 2

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément.
On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

partie a : Un premier modèle

On considère une première fonction f pour modéliser la situation précédente.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est $f\left(x\right)=x^2+\ln \left(x\right)+1$ pour x appartenant à $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

1. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$

   2. Étudier les variations de f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

2. Justifier que la fonction F définie sur $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x\ln \left(x\right)$ est une primitive de f sur $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

3. 1. Calculer la valeur exacte de $I={\displaystyle {\int }_4^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   2. En déduire la durée moyenne de chargement, arrondie à la seconde près, si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000.

partie b : Modèle exponentiel

On modélise la situation à l'aide d'une deuxième fonction g.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est $g\left(x\right)=\mathrm{8,4}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{0,3}x\right)}$ pour x appartenant à $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$..
On a tracé ci-dessous, la courbe ${𝒞}_g$ représentative de la fonction g.

1. La tangente T à la courbe ${𝒞}_g$ au point A d'abscisse ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ passe par l'origine du repère.
   Quelle est la valeur de $g\prime \left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)$ ?

2. Quelle est la durée moyenne de chargement exprimée en seconde si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000 ?

partie c

On a constaté que quand le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000, le temps moyen de chargement était de 52 secondes.
Quel est celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation ?

---

---

Télécharger le sujet :

  LaTeX      |      Pdf    

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variation, limitesLogarithme népérien : Propriétés algébriques , équationsFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentiellePrimitives d'une fonctionIntégrationÉquations différentiellesProbabilités : Lois de probabilité à densitéTrigonométrieNombres complexesFonctions : QCMFonctions : Vrai-Faux

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.