contrôles en terminale STI2D

contrôle du 2 juin 2014

thèmes abordés

  • QCM : Nombres complexes, Équations différentielles ; Probabilités.
  • Fonction logarithme, dérivée variation. Fonction exponentielle. Intégrales valeur moyenne.

Exercice 1

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquez sur la copie le numéro de la question et justifiez votre choix.

partie a

  1. La forme exponentielle du nombre complexe z=4-4i est :

    a. 4ei3π4

    b. 42ei3π4

    c. 4e-iπ4

    d. 42e-iπ4

  2. Si z1=32ei2π3 et z2=2e-iπ4, alors le produit z1×z2 est un nombre complexe :

    a. de module 22 et dont un argument est π7.

    b. de module 22 et dont un argument est 5π12.

    c. de module 6 et dont un argument est 5π12.

    d. de module 6 et dont un argument est 11π12.

  3. Si z1=23e-i5π6 et z2=3eiπ3, alors le quotient z1z2 vaut :

    a. 2ei5π6

    b. 3e-2iπ

    c. 2e-iπ6

    d. -2ei7π6

  4. On considère le nombre complexe z=2e-iπ4. L'inverse de z est égal à :

    a. 12e-iπ4

    b. -2e-iπ4

    c. 2eiπ4

    d. 12eiπ4

partie b

  1. On considère l'équation différentielle y+9y=0, où y désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution f de cette équation est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :

    a. f(x)=4e9x

    b. f(x)=0,2sin(9x)

    c. f(x)=-0,2e-9x

    d. f(x)=-2cos(3x)

  2. On considère l'équation différentielle 2y+6y=0, où y désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution f de cette équation telle que f(0)=1 est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :

    a. f(x)=e3x+3

    b. f(x)=e-3x

    c. f(x)=2e-6x

    d. f(x)=6e-2x

partie c

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour.
En 2010, en France, la proportion notée p de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de p=0,236.

  1. La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à 10-3 près :

    a. 0,236

    b. 0

    c. 0,068

    d. 0,764

  2. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :
    (Les bornes de chaque intervalle sont données à 10-3 près)

    a. [0,198;0,274]

    b. [0,134;0,238]

    c. [0,19;0,281]

    d. [0,192;0,280]

  3. La taille n de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,05, vaut :

    a. n=200

    b. n=400

    c. n=632

    d. n=1109


Exercice 2

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément.
On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

partie a : Un premier modèle

On considère une première fonction f pour modéliser la situation précédente.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est f(x)=x2+ln(x)+1 pour x appartenant à [0,5;+[.

    1. Calculer f(x)

    2. Étudier les variations de f sur l'intervalle [0,5;+[.

  1. Justifier que la fonction F définie sur [0,5;+[ par F(x)=x33+xln(x) est une primitive de f sur [0,5;+[.

    1. Calculer la valeur exacte de I=48f(x)dx.

    2. En déduire la durée moyenne de chargement, arrondie à la seconde près, si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000.

partie b : Modèle exponentiel

On modélise la situation à l'aide d'une deuxième fonction g.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est g(x)=8,4e(0,3x) pour x appartenant à [0,5;+[..
On a tracé ci-dessous, la courbe 𝒞g représentative de la fonction g.

Courbe représentative de la fonction g : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La tangente T à la courbe 𝒞g au point A d'abscisse 103 passe par l'origine du repère.
    Quelle est la valeur de g(103) ?

  2. Quelle est la durée moyenne de chargement exprimée en seconde si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000 ?

partie c

On a constaté que quand le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000, le temps moyen de chargement était de 52 secondes.
Quel est celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation ?



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