contrôle du 17 décembre 2013

exercice 1

Soit f la fonction définie sur $I=\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$ dont le tableau de variations incomplet est le suivant :

x	0			e		$+\infty$
$f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
$f\left(x\right)$				…		1

On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. 1. Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

   2. La courbe $C_f$ a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?

2. Montrer que pour tout réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$.

3. Étudier le signe de la fonction dérivée $f\prime$ sur l'intervalle I.

4. Recopier et compléter le tableau des variations de f sur I.

5. Donner la valeur arrondie à 10^-2 près des solutions éventuelles de l'équation $f\left(x\right)=0$.

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exercice 2

Simplifier les expressions suivantes :

1. ${\displaystyle \frac{{\left({\mathrm{e}}^{x+2}\right)}^2}{{\mathrm{e}}^{2x-1}}}$

2. ${\left({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2-{\left({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2$

3. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x+\ln 8}}{{\mathrm{e}}^{x-\ln 2}}}$

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exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. ${\mathrm{e}}^{x+\ln 2}=6$

2. ${\mathrm{e}}^{x^2+x-6}=1$

3. ${\mathrm{e}}^{x+1}=x-\ln \left({\mathrm{e}}^{x+1}\right)$

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exercice 4

Déterminer les fonctions primitives sur $ℝ$ des fonctions suivantes :

1. $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x+3$

2. $f\left(x\right)=x-{\mathrm{e}}^{-x}$

3. $f\left(x\right)=1+2x{\mathrm{e}}^{x^2}$

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exercice 5

partie a

La courbe (C) tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction f définie sur $ℝ$. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $ℝ$.

1. Au point $A\left(0;2\right)$, la courbe (C) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. En déduire $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

2. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction $f\prime$ dérivée de la fonction f et une autre une primitive F de f sur $ℝ$.

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3

   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. 1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

   2. La courbe (C) a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $ℝ$ puis dresser le tableau de variation complet de f.

3. Soit F la primitive de la fonction f telle que $F\left(0\right)=0$. On note (Γ) sa courbe représentative.
   Déterminer une équation de la tangente à la courbe (Γ) au point d'abscisse 0.

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