contrôle du 20 janvier 2014

Exercice 1

1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe $z=-5+5\mathrm{i}$.

2. Donner la forme exponentielle du nombre complexe $z=\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}$.

3. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z=-\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$.

4. Soit $z_1=2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$ et $z_2=-\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$, déterminer le module et un argument du produit $z_1\times z_2$.

5. Donner la forme algébrique du nombre complexe $Z={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2}}}$.

6. Donner la forme algébrique du nombre complexe z de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.

7. Soit $z_1=3\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$ et $z_2=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$, calculer le quotient ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$.

8. On considère le nombre complexe $z=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$.

   1. Calculer le carré de z.

   2. Calculer l'inverse de z.

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Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.
On note $ℂ$ l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. On considère l'équation (E) l'équation d'inconnue z : $\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)z=-6\mathrm{i}$.

   1. Résoudre dans $ℂ$ l'équation (E). On notera $z_1$ la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique.

   2. Déterminer la forme exponentielle de $z_1$.

   3. Soit $z_2$ le nombre complexe défini par : $z_2={\displaystyle \frac{2}{3}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi }\times z_1$.
      Déterminer les formes exponentielle et algébrique de $z_2$.

2. Soit A, B et C les points du plan d'affixes respectives : $z_A=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$, $z_B=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$ et $z_C=4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$.

   1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

   2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$.

   3. Déterminer la nature du triangle ABC.

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Exercice 3

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

1. $A={\displaystyle {\int }_1^4\left(x^2-2x+{\displaystyle \frac{2}{x}}-1\right)\mathrm{d}x}$.

2. $B={\displaystyle {\int }_2^6\left({\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-1\right)\mathrm{d}x}$.

3. $C={\displaystyle {\int }_{-\ln 2}^2\left({\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\mathrm{d}x}$.

4. $D={\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{2\pi }{3}}\left(\cos t-\sin t\right)\mathrm{d}t}$.

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