sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   • 30 ordinateurs sur 200 sont considérés comme neufs donc $$p\left(N\right)={\displaystyle \frac{30}{200}}=\mathrm{0,15}$$
   • 90 ordinateurs sur 200 sont considérés comme récents donc $$p\left(R\right)={\displaystyle \frac{90}{200}}=\mathrm{0,45}$$
   • les autres ordinateurs sont considérés comme anciens donc $$p\left(A\right)={\displaystyle \frac{200-30-90}{200}}=\mathrm{0,4}$$
   • 5 % des ordinateurs neufs sont défaillants donc $p_N\left(D\right)=\mathrm{0,05}$
   • 10 % des ordinateurs récents sont défaillants donc $p_R\left(D\right)=\mathrm{0,1}$
   • 20 % des ordinateurs anciens sont défaillants donc $p_A\left(D\right)=\mathrm{0,2}$

   D'où l'arbre pondéré représentant la situation :

   L'arbre a été complété à l'aide de la règle des nœuds Dans un arbre pondéré, la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1.:

2. Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.

   $$\begin{array}{lll}p\left(N\cap D\right)& =& p_N\left(D\right)\times p\left(N\right)\\ & =& \mathrm{0,15}\times \mathrm{0,05}\\ & =& \mathrm{0,0075}\end{array}$$

   La probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant est égale à 0,0075.

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3. Démontrer que la probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.

   Les évènements N, R et A déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(D\right)=p\left(N\cap D\right)+p\left(R\cap D\right)+p\left(A\cap D\right)$$

   Or $$\begin{array}{llll}& p\left(R\cap D\right)=p_R\left(D\right)\times p\left(R\right)& \text{et}& p\left(A\cap D\right)=p_A\left(D\right)\times p\left(A\right)\\ \text{Soit}& p\left(R\cap D\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,45}=\mathrm{0,045}& \text{et}& p\left(A\cap D\right)=\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,08}\end{array}$$

   Donc $$\begin{array}{lll}p\left(D\right)& =& p\left(N\cap D\right)+p\left(R\cap D\right)+p\left(A\cap D\right)\\ & =& \mathrm{0,0075}+\mathrm{0,045}+\mathrm{0,08}\\ & =& \mathrm{0,1325}\end{array}$$

   La probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.

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4. Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

   La probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant est :$$\begin{array}{ccc}{p}_D\left(A\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(A\cap D\right)}{p\left(D\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,1325}}}\\ & \approx & \mathrm{0,604}\end{array}$$

   Arrondie au centième, la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant est 0,6.

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5. Pour équiper le centre de ressources de l'établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
   Déterminer la probabilité qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.

   Le parc étant suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise alors, la loi de probabilité associée au nombre d'ordinateurs défaillants est est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,1325.

   Traduisons la situation à l'aide d'un arbre :

   L'évènement «exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant» correspond aux tois issues $D\overline{D}\overline{D}$, $\overline{D}D\overline{D}$ et $\overline{D}\overline{D}D$.

   Donc la pobabilité cherchée est $$3\times \mathrm{0,1325}\times {\left(1-\mathrm{0,1325}\right)}^2\approx \mathrm{0,299}$$

   Arrondie au centième, la probabilité qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant est 0,3.

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