sujet : France Métropolitaine

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminer la matrice ligne $P_0$ de l'état probabiliste initial.

   Au début de la campagne, 20 % des personnes interrogées préfèrent Aurore et les autres préfèrent Boréale alors $P_0=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)$

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2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale.

   Notons $A_n$ l'évènement «la personne intérrogée préfère Aurore la semaine n» et $B_n$ l'évènement «la personne intérrogée préfère Boréale la semaine n».

   D'une semaine sur l'autre, 10 % des personnes préférant Aurore et 15 % des personnes préférant Boréale changent d'avis alors : $$\begin{array}{cccc}& p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,1}& \text{et}& p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,15}\\ \text{D'où}& p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,9}& \text{et}& p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,85}\end{array}$$

   Le graphe probabiliste qui représente la situation est :

3. 1. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

      La matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets est : $M=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)$

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   2. Montrer que la matrice ligne $P_1$ est égale à $\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$.

      L'état probabiliste $P_1=P_0\times M$. Soit :$$\begin{array}{lll}{P}_1& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}\times \mathrm{0,9}+\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,15}& \mathrm{0,2}\times \mathrm{0,1}+\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,85}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)\end{array}$$

      Ainsi l'état probabiliste $P_1=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,3}& \mathrm{0,7}\end{array}\right)$

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4. 1. Exprimer, pour tout entier naturel n, $P_n$ en fonction de $P_0$ et de n.

      Pour tout entier naturel n, l'état probabiliste $P_n=P_0\times M^n$ .

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   2. En déduire la matrice ligne $P_3$. Interpréter ce résultat.

      Trois semaines après le début de la campagne, l'état probabiliste $P_3=P_0{M}^3$. Soit $$\begin{array}{lll}{P}_3& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)}^3\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2}& \mathrm{0,8}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,76875}& \mathrm{0,23125}\\ \mathrm{0,346875}& \mathrm{0,653125}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,43125}& \mathrm{0,56875}\end{array}\right)\end{array}$$

      L'état probabiliste $P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,43125}& \mathrm{0,56875}\end{array}\right)$ . Donc trois semaines après le début de la campagne, 43,125% des personnes interrogées préfèrent Aurore et 56,875% des personnes interrogées préfèrent Boréale.

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   Dans la question suivante, toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

5. Soit $P=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$ la matrice ligne de l'état probabiliste stable.

   1. Déterminer a et b.

      La matrice de transition M ne comportant pas de 0 , l'état $P_n$ converge vers un état stable P indépendant de l'état initial.
      P est solution de l'équation : ( voir le théorème )Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
      —  l'état $P_n$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_0$ ;
      —  de plus, P est l'unique solution de l'équation $X=X\times M$ où $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ avec $x+y=1$.$$P=P\times M$$

      Soit $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,9}& \mathrm{0,1}\\ \mathrm{0,15}& \mathrm{0,85}\end{array}\right)\end{array}$ avec $a+b=1$

      D'où a et b sont solutions du système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rcl}a& =& \mathrm{0,9}a+\mathrm{0,15}b\\ b& =& \mathrm{0,1}a+\mathrm{0,85}b\\ a+b& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,1}a-\mathrm{0,15}b& =& 0\\ -\mathrm{0,1}a+\mathrm{0,15}b& =& 0\\ a+b& =& 1\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, a et b sont solutions du système $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,1}a-\mathrm{0,15}b& =& 0\\ a+b& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}\mathrm{0,25}a& =& \mathrm{0,15}\\ a+b& =& 1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& \mathrm{0,6}\\ b& =& \mathrm{0,4}\end{array}\end{array}$$

      L'état stable du système est $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$.

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   2. Le parfum Aurore finira-t-il par être préféré au parfum Boréale ? Justifier.

      Indépendamment de l'état initial, l'état $P_n$ converge vers l'état stable $P=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)$.

      Donc si on considère l'échantillon comme représentatif d'un marché fermé, le parfum Aurore détiendra 60% des parts de marché.

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