Baccalauréat juin 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : France Métropolitaine

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On se propose d'étudier l'évolution des ventes d'un modèle de voiture de gamme moyenne depuis sa création en 1999.

Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie I

Le tableau suivant dorme le nombre annuel, exprimé en milliers, de véhicules vendus les cinq premières années de commercialisation :

Année 19992000200120022003
Rang de l'année : xi01234
Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : yi81,392,3109,7128,5131,2
  1. Dans le plan (P) muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 milliers de véhicules vendus sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi;yi) pour i entier variant de 0 à 4.

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.

    1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.

      Les coordonnées du point moyen G de ce nuage sont xG=0+1+2+3+45=2etyG=81,3+92,3+109,7+128,5+131,25=108,6

      Le point moyen G de ce nuage a pour coordonnées G(2;108,6)


    2. Déterminer l'équation y=ax+b de la droite (D) d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : y=13,6x+81,4


    3. Placer le point G et tracer la droite (D) sur le graphique précédent.

      Ajustement affine du nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    4. En utilisant l'ajustement affine du b, donner une estimation du nombre de véhicules vendus en 2007.

      Le rang de l'année 2007 est 8. D'où une estimation du nombre de milliers de véhicules vendus : 13,6×8+81,4=190,2

      D'après cet ajustement, en 2007, le nombre de véhicules vendus serait de 190,2 milliers.


  3. Le tableau suivant donne le nombre annuel de véhicules vendus, exprimé en milliers, de 2003 à 2007 :

    Année20032004200520062007
    Rang de l'année : xi45678
    Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : yi131,2110,8101,486,376,1
    1. Compléter le nuage de points précédent à l'aide de ces valeurs.

      Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. L'ajustement précédent est-il encore adapté ? Justifier la réponse.

      À partir de 2003, on constate une baisse du nombre de véhicules vendus. L'ajustement à l'aide d'une fonction affine croissante n'est pas adapté.


    3. On décide d'ajuster le nuage de points associé à la série statistique (xi;yi) pour i entier variant de 4 à 8, par une courbe qui admet une équation de la forme y=ecx+d. Déterminer les réels c et d pour que cette courbe passe par les points A(4;131,2) et B(8;76,1).
      On donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au millième de chacun de ces nombres réels.

      Les coordonnées des points A(4;131,2) et B(8;76,1) vérifient l'équation de la courbe, d'où les réels c et d sont solutions du système : {e4c+d=131,2e8c+d=76,1{4c+d=ln131,28c+d=ln76,1{4c+d=ln131,24c=ln76,1-ln131,2{d=ln131,2-ln76,1+ln131,2c=14(ln76,1-ln131,2){d=ln131,2276,1c=0,25ln76,1131,2

      Ainsi, c=0,25ln76,1131,2 et d=ln131,2276,1. Soit arrondi au millième, c-0,136 et d5,421


Partie II

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [4;10] par : f(x)=e-0,136x+5,421.
On suppose que f modélise en milliers l'évolution du nombre annuel de véhicules vendus à partir de l'année 2003.

  1. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [4;10].

    • Méthode 1 : utilisation du théorème sur les variations des fonctions composées

      La fonction exponentielle est strictement croissante sur . Par conséquent, la fonction f a les mêmes variations que la fonction affine x-0,136x+5,421 sur l'intervalle [4;10].

      Donc la fonction f est strictement décroissante.


    • Méthode 2 : à partir du signe de la dérivée

      La dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle [4;10] par :f(x)=-0,136e-0,136x+5,421

      Or pour tout réel x, ex>0 donc pour tout réel x, -0,136e-0,136x+5,421<0.

      Ainsi, f(x)<0 donc la fonction f est strictement décroissante.


  2. Tracer la courbe (C) représentative de la fonction f dans le même repère que le nuage de points.

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. L'entreprise décide d'arrêter la fabrication du modèle l'année où le nombre annuel de véhicules vendus devient inférieur à 65 000.

    1. Résoudre algébriquement dans l'intervalle [4;10] l'inéquation f(x)65.
      En quelle armée l'entreprise doit-elle prévoir cet arrêt ?

      f(x)65e-0,136x+5,42165-0,136x+5,421ln65-0,136xln65-5,421x5,421-ln650,136

      f(x)65 pour tout réel x de l'intervalle [5,421-ln650,136;10]

      Le rang n d'une année correspond au terme d'une année. Par conséquent, le rang de l'année où l'entreprise doit décider l'arrêt de la fabrication est le plus petit entier n tel que f(n)65.

      Or 5,421-ln650,1369,2 donc n=10.

      L'entreprise décidera d'arrêter la fabrication du modèle en 2009.


    2. Retrouver graphiquement le résultat précédent en laissant apparents les traits de construction nécessaires.

      Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      f(x)65 pour les abscisses des points de la courbe (C) situés sous la droite d'équation y=65


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.