On se propose d'étudier l'évolution des ventes d'un modèle de voiture de gamme moyenne depuis sa création en 1999.
Les parties I et II peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Le tableau suivant dorme le nombre annuel, exprimé en milliers, de véhicules vendus les cinq premières années de commercialisation :
Année | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 |
Rang de l'année : | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : | 81,3 | 92,3 | 109,7 | 128,5 | 131,2 |
Dans le plan (P) muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 milliers de véhicules vendus sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à la série statistique pour i entier variant de 0 à 4.
L'allure du nuage de points permet d'envisager un ajustement affine.
Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage.
Les coordonnées du point moyen G de ce nuage sont
Le point moyen G de ce nuage a pour coordonnées
Déterminer l'équation de la droite (D) d'ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est :
Placer le point G et tracer la droite (D) sur le graphique précédent.
En utilisant l'ajustement affine du b, donner une estimation du nombre de véhicules vendus en 2007.
Le rang de l'année 2007 est 8. D'où une estimation du nombre de milliers de véhicules vendus :
D'après cet ajustement, en 2007, le nombre de véhicules vendus serait de 190,2 milliers.
Le tableau suivant donne le nombre annuel de véhicules vendus, exprimé en milliers, de 2003 à 2007 :
Année | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 |
Rang de l'année : | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Nombre annuel de véhicules vendus en milliers : | 131,2 | 110,8 | 101,4 | 86,3 | 76,1 |
Compléter le nuage de points précédent à l'aide de ces valeurs.
L'ajustement précédent est-il encore adapté ? Justifier la réponse.
À partir de 2003, on constate une baisse du nombre de véhicules vendus. L'ajustement à l'aide d'une fonction affine croissante n'est pas adapté.
On décide d'ajuster le nuage de points associé à la série statistique pour i entier variant de 4 à 8, par une courbe qui admet une équation de la forme . Déterminer les réels c et d pour que cette courbe passe par les points et .
On donnera la valeur exacte, puis l'arrondi au millième de chacun de ces nombres réels.
Les coordonnées des points et vérifient l'équation de la courbe, d'où les réels c et d sont solutions du système :
Ainsi, et . Soit arrondi au millième, et
Soit f la fonction définie sur l'intervalle par : .
On suppose que f modélise en milliers l'évolution du nombre annuel de véhicules vendus à partir de l'année 2003.
Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle .
Méthode 1 : utilisation du théorème sur les variations des fonctions composées
La fonction exponentielle est strictement croissante sur . Par conséquent, la fonction f a les mêmes variations que la fonction affine sur l'intervalle .
Donc la fonction f est strictement décroissante.
Méthode 2 : à partir du signe de la dérivée
La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par :
Or pour tout réel x, donc pour tout réel x, .
Ainsi, donc la fonction f est strictement décroissante.
Tracer la courbe (C) représentative de la fonction f dans le même repère que le nuage de points.
L'entreprise décide d'arrêter la fabrication du modèle l'année où le nombre annuel de véhicules vendus devient inférieur à 65 000.
Résoudre algébriquement dans l'intervalle l'inéquation .
En quelle armée l'entreprise doit-elle prévoir cet arrêt ?
pour tout réel x de l'intervalle
Le rang n d'une année correspond au terme d'une année. Par conséquent, le rang de l'année où l'entreprise doit décider l'arrêt de la fabrication est le plus petit entier n tel que .
Or donc .
L'entreprise décidera d'arrêter la fabrication du modèle en 2009.
Retrouver graphiquement le résultat précédent en laissant apparents les traits de construction nécessaires.
pour les abscisses des points de la courbe (C) situés sous la droite d'équation
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