Baccalauréat session 2008 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Nouvelle Calédonie (Mars 2009)

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Barème : une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est 0.

La courbe C ci-dessous est une partie de la courbe représentative, dans un repère orthogonal, d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle I=-44. La droite T tangente à la courbe C au point A01,5 passe par le point B30. On note f la fonction dérivée de f .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. f0 est égal à :

    Réponse A : 1,5

    Réponse B : − 0,5

    Réponse C : 0,5

  2. fx0 si x appartient à l'intervalle :

    Réponse A : -4-1

    Réponse B : 13

    Réponse C : 01

  3. -20fxdx est un nombre de l'intervalle :

    Réponse A : 02

    Réponse B : 24

    Réponse C : 46

  4. L'équation lnfx=0 a exactement :

    Réponse A : 1 solution

    Réponse B : 2 solutions

    Réponse C : 3 solutions

  5. Soit g la fonction définie sur l'intervalle -41 par gx=1fx. La fonction g est croissante sur l'intervalle :

    Réponse A : -3-1

    Réponse B : -21

    Réponse C : 01


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau ci-dessous donne en euros le montant des remboursements annuels yi effectués de 2003 à 2007 par un ménage, à la suite de divers emprunts :

Année20032004200520062007
Rang de l'année xi12345
yi6 0967 6029 17011 15515 385
  1. Construire le nuage de points Mixiyi, avec i compris entre 1 et 5, associé à cette série statistique. On prendra comme unité graphique 2 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 1 000 euros en ordonnée. On commencera les graduations au point de coordonnées 06000.

  2. On pose, pour i variant de 1 à 5, zi=lnyi

    1. Calculer zi en arrondissant les valeurs à 10− 3 près.

    2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients obtenus à l'aide de la calculatrice seront arrondis au centième.

    3. En déduire que l'on peut écrire une relation entre y et x sous la forme : y=AeBx avec A4817 et B0,22.

    4. En supposant, que cet ajustement reste valable en 2008, estimer le montant des remboursements annuels de ce ménage en 2008, arrondi à l'euro.

  3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    Ce ménage disposait de 50 000 euros de revenu annuel en 2006. On estime que son revenu annuel augmente de 2 % par an. La banque alerte ses clients lorsque le montant des remboursements des emprunts dépasse le tiers du montant des revenus.
    En quelle année la banque alertera-t-elle ce ménage ? Justifier.


exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Un club de natation propose à ses adhérents trois types d'activité : la compétition, le loisir ou l'aquagym. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'une seule des trois activités.
30 % des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20 % des adhérents au club pratiquent l'aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition.

Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents.
20 % des adhérents de la section loisir et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 30 % des adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre.

On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les évènements suivants :

  1. Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

    1. Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu'elle participe à la rencontre.

    2. Le président du club déplore que plus de la moitié des adhérents ne participent pas à la rencontre. Justifier son affirmation par un calcul.

  2. On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu'elle soit dans la section compétition. Donner une valeur approchée du résultat arrondie à 10− 2 près.

  3. Les tarifs du club pour l'année sont les suivants : l'adhésion à la section compétition est de 100 € et l'adhésion à la section loisir ou à l'aquagym est de 60 €. De plus, une somme de 15 € est demandée aux adhérents qui participent à la rencontre.
    On appelle S la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la rencontre).

    1. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de S :

      Si6075100115
      Pi 0,11 0,35
    2. Calculer l'espérance mathématique de S et interpréter ce nombre.


exercice 4 ( 5 points ) commun à tous les candidats

i étude d'une fonction

Soit f la fonction définie sur l'intervalle 0+ par : fx=0,5x+e-0,5x+0,4.

  1. Calculer fxf désigne la dérivée  f sur l'intervalle 0+.

  2. Étudier les variations de f sur l'intervalle 0+ et vérifier que f admet un minimum en 0,8.

ii application économique

Une entreprise fabrique des objets. fx est le coût total de fabrication, en milliers d'euros, de x centaines d'objets. Chaque objet fabriqué est vendu 6 €.

  1. Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût total de fabrication soit minimum ?

  2. Le résultat (recette moins coûts), en milliers d'euros, obtenu par la vente de x centaines d'objet est : Rx=0,1x-e-0,5x+0,4.

    1. Étudier les variations de R sur l'intervalle 0+.

    2. Montrer que l'équation Rx=0 a une unique solution α dans l'intervalle 0+. Déterminer un encadrement de α à 10− 2 près.

    3. En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise un bénéfice sur la vente des objets.



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