sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

partie a

1. Donner, par lecture graphique ou en utilisant les données de l'énoncé, les valeurs de $f\left(1\right)$, $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(2\right)$, où $f\prime$ est la fonction dérivée de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   • Le point $A\left(1;1\right)$ appartient à la courbe (C) donc $f\left(1\right)=1$

     ---

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe (C) au point $A\left(1;1\right)$. Or cette droite passe également par le point de coordonnées $\left(2;0\right)$. Le coefficient directeur de la droite (T) est donc : $${\displaystyle \frac{1-0}{1-2}}=-1$$

     Donc $f\prime \left(1\right)=-1$

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   • La courbe (C) admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2 donc $f\prime \left(2\right)=0$

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2. On admet que l'expression de $f\left(x\right)$ sur $\left]0;+\infty \right[$ est $f\left(x\right)=ax+b+c\ln x$ où a, b et c sont des nombres réels.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ en fonction de x et de a, b et c.

      f est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ comme somme de fonctions dérivables et $f\prime \left(x\right)=a+{\displaystyle \frac{c}{x}}$

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   2. Démontrer que les réels a, b et c vérifient le système $\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a+c=-1\\ a+{\displaystyle \frac{c}{2}}=0\end{array}$

      • $f\left(1\right)=1$ donc $a+b=1$
      • $f\prime \left(1\right)=-1$ donc $a+c=-1$
      • $f\prime \left(2\right)=0$ donc $a+{\displaystyle \frac{c}{2}}=0$

      Ainsi a, b et c vérifient le système $\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a+c=-1\\ a+{\displaystyle \frac{c}{2}}=0\end{array}$

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   3. Déduire de la question précédente les valeurs de a, b et c, puis l'expression de $f\left(x\right)$.

      $$\begin{array}{lllll}\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a+c=-1\\ a+{\displaystyle \frac{c}{2}}=0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a+b=1\\ a+c=-1\\ {\displaystyle \frac{c}{2}}=-1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}b=0\\ a=1\\ c=-2\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, f est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x-2\ln x$

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partie b

Dans cette partie, on admet que la fonction f représentée ci-dessus est définie pour tout réel x appartenant à $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x-2\ln x$

1. Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.

   $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ donc $\underset{x\to 0}{\lim }x-2\ln x=+\infty$

   $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ alors l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C.

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2. 1. Calculer la dérivée $g\prime$ de la fonction g définie pour tout réel $x\in \left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=x\ln x-x$

      g est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. Pour tout réel $x\in \left]0;+\infty \right[$, $$g\prime \left(x\right)=\left(1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-1=\ln x$$

      Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $g\prime \left(x\right)=\ln x$

      ---

   2. En déduire une primitive F de la fonction f sur $\left]0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel $x\in \left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=x-2\times g\prime \left(x\right)$. Donc une primitive de la fonction f est la fonction F telle que $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2\times \left(x\ln x-x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x-2x\ln x$$

      Une primitive F de la fonction f est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x-2x\ln x$

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   3. Déterminer la valeur exacte, en unités d'aires, de l'aire du domaine grisé sur le graphique ci-dessus, délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=\mathrm{e}$.

      • f est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ donc f est continue sur $\left]0;+\infty \right[$

      • La courbe (C) est au dessus de l'axe des abscisses donc $f\left(x\right)>0$. Démontrons ce résultat

        $f\prime \left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{x-2}{x}}$. Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de f

        x	0		2		$+\infty$
        $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
        $f\left(x\right)$			$f\left(2\right)$

        Le minimum de la fonction f est atteint pour $x=2$ donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)⩾f\left(2\right)& \iff & f\left(x\right)⩾2-2\ln 2\end{array}$$

        Or $2-2\ln 2\approx \mathrm{0,61}$ donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)>0$

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$ , la fonction f est continue et positive alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. : l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}$ est : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\mathrm{e}\right)-F\left(1\right)\hfill \\ & =& \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}+2\times \mathrm{e}-2\times \mathrm{e}\times \ln \mathrm{e}\right)-\left({\displaystyle \frac{1^2}{2}}+2\times 1-2\times 1\times \ln 1\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\hfill \end{array}$$

      L'aire du domaine colorié est égale à ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2-5}{2}}$ unités d'aire.

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