sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie 1 : Un ajustement affine est-il possible ?

1. Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points $\left(x_i;y_i\right)$ $0⩽i⩽7$ (unités graphiques : 2 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses ; 2 cm pour 10 unités d'indice sur l'axe des ordonnées, en graduant ce dernier à partir de y = 90).

2. Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage de points ne parait pas approprié.

   Un ajustement affine ne semble pas approprié car les points du nuage ne sont pas "presque alignés". En effet, d'une année sur l'autre, l'accroissement moyen de l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre augmente.

   D'une année sur l'autre, l'accroissement moyen de l'indice du chiffre d'affaires augmente, un ajustement exponentiel est plus adapté.

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partie 2 : On essaie un autre ajustement

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous ; on donnera les résultats à 10⁻²

   Rang de l'année $x_i$ , $0⩽i⩽7$	0	1	2	3	4	5	6	7
   $z_i=\ln y_i$ , $0⩽i⩽7$	4,61	4,66	4,67	4,71	4,80	4,89	4,98	5,09

2. 1. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés : les coefficients seront arrondis au centième.

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : $$z=\mathrm{0,07}x+\mathrm{4,56}$$ (coefficients arrondis arrondis au centième).

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   2. En déduire une expression de y en fonction de x sous la forme $y=A\times {\mathrm{e}}^{Bx}$ où A et B sont des réels.

      Pour tout réel $y>0$ , $z=\ln y\iff y=\exp z$ d'où $$\begin{array}{lll}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,07}x+\mathrm{4,56}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,56}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,07}x}\end{array}$$

      Posons $A={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,56}}\approx \mathrm{95,6}$ et $B=\mathrm{0,07}$ :

      Une estimation du montant de l'indice du chiffre d'affaires y en fonction du rang x de l'année est $y=A\times {\mathrm{e}}^{Bx}$ avec $A={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,56}}$ et $B=\mathrm{0,07}$

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   3. Dans le repère précédent, représenter la fonction f définie par $f\left(x\right)=\mathrm{95,6}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,07}x}$.

   4. À l'aide de ce modèle, donner une estimation de l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre pour l'année 2009.

      Le rang de l'année 2009 est 9 et $$f\left(9\right)=\mathrm{95,6}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,07}\times 9}\approx \mathrm{179,5}$$

      L'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre pour l'année 2009 devrait être de 179,5.

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partie 3 : Ce nouvel ajustement permet-il de prévoir l'avenir ?

La fonction $x⟼\mathrm{0,07}x$ est strictement croissante, d'où la fonction $x⟼{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,07}x}$ est strictement croissante, ainsi que la fonction f définie par $f\left(x\right)=\mathrm{95,6}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,07}x}$.

La fonction f qui sert de modèle, est strictement croissante, elle ne permet pas de prévoir une baisse de l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre . Donc cette fonction ne convient pas pour estimer l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre en 2009.

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