Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

D'après l'INSEE, l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre (base 100 en 2000) a évolué entre 2000 et 2007 de la manière suivante :

année 20002001200220032004200520062007
Rang de l'année xi , 0i701234567
Indice yi , 0i7100105,6106,9110,8121,3132,5145,5161,8

partie 1 : Un ajustement affine est-il possible ?

  1. Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points (xi;yi) 0i7 (unités graphiques : 2 cm pour 1 année sur l'axe des abscisses ; 2 cm pour 10 unités d'indice sur l'axe des ordonnées, en graduant ce dernier à partir de y = 90).

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage de points ne parait pas approprié.

    Un ajustement affine ne semble pas approprié car les points du nuage ne sont pas "presque alignés". En effet, d'une année sur l'autre, l'accroissement moyen de l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre augmente.

    D'une année sur l'autre, l'accroissement moyen de l'indice du chiffre d'affaires augmente, un ajustement exponentiel est plus adapté.


partie 2 : On essaie un autre ajustement

  1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous ; on donnera les résultats à 10−2

    Rang de l'année xi , 0i701234567
    zi=lnyi , 0i74,614,664,674,714,804,894,985,09
    1. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés : les coefficients seront arrondis au centième.

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est : z=0,07x+4,56 (coefficients arrondis arrondis au centième).


    2. En déduire une expression de y en fonction de x sous la forme y=A×eBxA et B sont des réels.

      Pour tout réel y>0 , z=lnyy=expz d'où y=e0,07x+4,56y=e4,56×e0,07x

      Posons A=e4,5695,6 et B=0,07 :

      Une estimation du montant de l'indice du chiffre d'affaires y en fonction du rang x de l'année est y=A×eBx avec A=e4,56 et B=0,07


    3. Dans le repère précédent, représenter la fonction f définie par f(x)=95,6e0,07x.

      Ajustement du nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    4. À l'aide de ce modèle, donner une estimation de l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre pour l'année 2009.

      Le rang de l'année 2009 est 9 et f(9)=95,6×e0,07×9179,5

      L'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre pour l'année 2009 devrait être de 179,5.


partie 3 : Ce nouvel ajustement permet-il de prévoir l'avenir ?

« Baisse des permis de construire et donc des mises en chantier, stocks de logements neufs trop importants, hausse des taux d'intérêts, des coûts des matériaux et de la main d'oeuvre ... À en croire le numéro 1 de l'assurance crédit en France, qui publiait jeudi son étude intitulée « Immobilier, construction : à quand la sortie de crise ? », le BTP français donne des signes de faiblesse et doit s'attendre selon l'assureur, tout d'abord à une dégradation de sa rentabilité. »

À la lecture de cette analyse faite en avril 2008, peut-on utiliser le modèle exponentiel de la partie 2 pour pronostiquer le chiffre d'affaires du secteur bâtiment gros œuvre en 2009 ?

La fonction x0,07x est strictement croissante, d'où la fonction xe0,07x est strictement croissante, ainsi que la fonction f définie par f(x)=95,6e0,07x.

La fonction f qui sert de modèle, est strictement croissante, elle ne permet pas de prévoir une baisse de l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre . Donc cette fonction ne convient pas pour estimer l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros œuvre en 2009.



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