sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Recopier et compléter l'arbre suivant :

   • La première balle de service est jugée « bonne » dans 40 % des cas d'où :$$\begin{array}{ccc}p\left(S_1\right)=\mathrm{0,6}& \text{et}& p\left(\overline{S_1}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}\end{array}$$
   • La deuxième balle de service est jugée « bonne » dans 95 % des cas d'où :$$\begin{array}{ccc}{p}_{\overline{S_1}}\left(S_2\right)=\mathrm{0,95}& \text{et}& p_{\overline{S_1}}\left(\overline{S_2}\right)=1-\mathrm{0,95}=\mathrm{0,05}\end{array}$$
   • Si sa première balle de service est jugée « bonne », Naderer gagne l'échange dans 80 % des cas d'où :$$\begin{array}{ccc}{p}_{S_1}\left(G\right)=\mathrm{0,8}& \text{et}& p_{S_1}\left(\overline{G}\right)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}\end{array}$$
   • Si sa deuxième balle de service est jugée « bonne », Naderer gagne l'échange dans 60 % des cas d'où :$$\begin{array}{ccc}{p}_{S_2}\left(G\right)=\mathrm{0,6}& \text{et}& p_{S_2}\left(\overline{G}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}\end{array}$$

   D'où l'arbre traduisant la situation :

2. Calculer $p\left(S_1\cap G\right)$.

   $$\begin{array}{cc}& p\left(S_1\cap G\right)=p_{S_1}\left(G\right)\times p\left(S_1\right)\\ \text{Soit}& p\left(S_1\cap G\right)=\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,32}\end{array}$$

   La probabilité que Naderer réussisse son premier service et gagne l'échange est égale à 0,32.

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3. Montrer que la probabilité que le joueur Naderer gagne l'échange est de 0,662.

   D'après l'arbre ci-dessus, les deux issues qui permettent d'aboutir à l'évènement G sont $S_1\cap G$ et $\overline{S_1}\cap S_2\cap G$. D'où $$\begin{array}{ll}& p\left(G\right)=p\left(S_1\cap G\right)+p\left(\overline{S_1}\cap S_2\cap G\right)\\ \text{Soit}& p\left(G\right)=\mathrm{0,32}+\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,95}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,662}\end{array}$$

   La probabilité que Naderer gagne l'échange est égale à 0,662.

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4. Sachant que le joueur Naderer a gagné l'échange, calculer la probabilité que sa première balle de service ait été jugée « bonne ». Le résultat sera arrondi au millième.

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement $S_1$ sachant que l'évènement G est réalisé : $$\begin{array}{ll}& p_G\left(S_1\right)={\displaystyle \frac{p\left(S_1\cap G\right)}{p\left(G\right)}}\\ \text{Soit}& p_G\left(S_1\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,32}}{\mathrm{0,662}}}\approx \mathrm{0,483}\end{array}$$

   Arrondie au millième, la probabilité que la première balle de service de Naderer ait été jugée « bonne » sachant qu'il a gagné l'échange est 0,483.

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5. Calculer la probabilité que le joueur Naderer gagne quatre échanges consécutifs. On donnera le résultat arrondi au millième.

   Les quatre échanges consécutifs sont modélisés par la répétition de quatre expériences de Bernoulli indépendantes. La loi de probabilité associée au nombre d'échanges gagnés est une loi binomiale de paramètres 4 et 0,662. La probabilité d'obtenir quatre succés consécutifs est $${\mathrm{0,662}}^4\approx \mathrm{0,192}$$

   Arrondie au millième, la probabilité que le joueur Naderer gagne quatre échanges consécutifs est 0,192.

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