Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

indications pour l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

On considère la fonction f définie sur ]0;+[ dont on donne la représentation graphique (C) dans le repère ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On admet que :

partie a

  1. Donner, par lecture graphique ou en utilisant les données de l'énoncé, les valeurs de f(1), f(1) et f(2), où f est la fonction dérivée de f sur ]0;+[.

    Le nombre dérivé f(1) est égal au coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe (C) au point A(1;1).

  2. On admet que l'expression de f(x) sur ]0;+[ est f(x)=ax+b+clnxa, b et c sont des nombres réels.

    1. Calculer f(x) en fonction de x et de a, b et c.

    2. Démontrer que les réels a, b et c vérifient le système {a+b=1a+c=-1a+c2=0

    3. Déduire de la question précédente les valeurs de a, b et c, puis l'expression de f(x).

partie b

Dans cette partie, on admet que la fonction f représentée ci-dessus est définie pour tout réel x appartenant à ]0;+[ par f(x)=x-2lnx

  1. Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.

    Calculer limx0f(x)

    1. Calculer la dérivée g de la fonction g définie pour tout réel x]0;+[ par g(x)=xlnx-x

    2. En déduire une primitive F de la fonction f sur ]0;+[.

      Pour tout réel x]0;+[, f(x)=x-2×g(x)

    3. Déterminer la valeur exacte, en unités d'aires, de l'aire du domaine grisé sur le graphique ci-dessus, délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e.


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