sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. « Un accroissement de population de 1,8 % par an peut paraître faible, il correspond pourtant à un doublement de la population en 40 ans ». Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

   Soit $P_0$ l'effectif initial de la population. Pour tout entier naturel n, notons $P_n$ l'effectif de la population au bout de n années.

   D'une année sur l'autre, la population augmente de 1,8%. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 1,8% est égal à $$1+{\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}}{100}}=\mathrm{1,018}$$ Donc pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=\mathrm{1,018}\times P_n$.
   Ainsi, $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,018 et de premier terme $P_0$ . D'où pour tout entier naturel n, $$P_n={\mathrm{1,018}}^n\times P_0$$

   D'où une population au bout de 40 ans de : $$\begin{array}{ccc}{P}_{40}={\mathrm{1,018}}^{40}\times P_0& \text{Soit}& P_{40}\approx \mathrm{2,04}\times P_0\end{array}$$

   Avec un taux d'accroissement annuel de 1,8 %, la poulation aura pratiquement doublé en 40 ans.

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2. D'après l'INED (Institut National d'Études Démographiques), la population mondiale a suivi l'évolution suivante :

   Année	1960	1970	1980	1990	2000
   Rang de l'année $x_i$ , $0⩽i⩽40$	0	10	20	30	40
   Population : $y_i$ en millions d'habitants	3 014	3 683	4 453	5 201	6 080

   1. Calculer T, le taux d'évolution en pourcentage de la population mondiale entre 1960 et 2000 (arrondir à 0,1 % près).

      Le taux T d'évolution en pourcentage de la population mondiale entre 1960 et 2000 est égal à :$${\displaystyle \frac{6080-3014}{3014}}\times 100\approx \mathrm{101,7}$$

      Entre 1960 et 2000, la population mondiale a augmenté d'environ 101,7 %.

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   2. On appelle t le taux d'évolution moyen annuel, en %, entre 1960 et 2000. Montrer que t vérifie ${\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{40}\approx \mathrm{2,017}$.
      En déduire une valeur approchée de t (arrondie au dixième de pourcentage).

      Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution moyen annuel de t % est égal à $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$. Par conséquent t vérifie $$\begin{array}{ccc}3014\times {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{40}=6080& \iff & {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{40}={\displaystyle \frac{6080}{3014}}\\ & \text{Soit}& {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{40}\approx \mathrm{2,017}\\ & \text{Donc}& \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)\approx {\mathrm{2,017}}^{\frac{1}{40}}\\ & \text{D'où}& {\displaystyle \frac{t}{100}}\approx \mathrm{0,018}\end{array}$$

      Arrondi au dixième de pourcentage, le taux d'évolution moyen annuel de la population mondiale entre 1960 et 2000, est égal à 1,8 %.

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3. On suppose qu'à partir de l'an 2000, le taux d'évolution annuel de la population reste constant et égal à 1,8 %. Donner une estimation de la population mondiale en 2008 à 100 millions près.

   Avec un taux d'évolution moyen annuel de la population de 1,8 %, en 2008, la population mondiale devrait être de $$6080\times {\mathrm{1,018}}^8\approx 7012$$

   Avec un taux d'évolution moyen annuel de la population de 1,8 %, en 2008 la population mondiale devrait dépasser 7 milliards d'habitants.

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4. 1. On décide de modéliser les données du tableau ci-dessus avec un ajustement affine.
      À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés.

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{76,5}x+\mathrm{2956,2}$

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   2. Calculer la population mondiale en millions d'habitants qui aurait dû être atteinte en 2008 d'après ce modèle (à 100 millions près).

      Le rang de l'année 2008 est 48. D'où une estimation de la population mondiale en millions d'habitants : $$\mathrm{76,5}\times 48+\mathrm{2956,2}\approx 6628$$

      Avec cet ajustement, la population mondiale devrait être de 6,6 milliards d'habitants en 2008.

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5. En fait, en 2008 on vient de dépasser 6,5 milliards d'habitants. Des deux estimations précédentes, laquelle est la plus proche de la réalité ?

   C'est l'ajustement affine, qui donne la meilleure estimation.

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