sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Reporter sur votre copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

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On considère la fonction f définie sur $\left]0;\mathrm{e}\right[\cup \left]\mathrm{e};+\infty \right[$ et représentée par la courbe $C_f$ ci-dessus. La fonction f est dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.
Les points $A\left(1;-1\right)$ et $B\left(2;{\displaystyle \frac{1}{2\ln 2-2}}\right)$ appartiennent à $C_f$. On désigne par C le point de $C_f$ d'ordonnée 4.
La courbe admet pour asymptotes les axes du repère ainsi que la droite d parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point $E\left(\mathrm{e};1\right)$.

1. Le point $A\left(1;-1\right)$ appartient à $C_f$ alors, $f\left(1\right)=-1$

   • $f\left(-1\right)=1$
   • $f\left(x\right)=0$ possède une unique solution sur $\left]0;\mathrm{e}\right[\cup \left]\mathrm{e};+\infty \right[$
   • $f\left(1\right)=-1$

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2. Une équation d'une des asymptotes de $C_f$ est :

   La courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point $E\left(\mathrm{e};1\right)$ alors une équation de la droite d est $y=\mathrm{e}$

   • $y=\mathrm{e}$
   • $x=\mathrm{e}$
   • $y=-1$

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3. Le nombre dérivé $f\prime \left(4\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 4.
   D'après sa courbe représentative, sur l'intervalle $\left]\mathrm{e};+\infty \right[$, la fonction f est strictement décroissante. Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{e};+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)⩽0$. Or au point d'abscisse 4, la tangente à la courbe n'est pas parallèle à l'axe des abscisses et son coefficient directeur est visiblement négatif. Donc $f\prime \left(4\right)<0$.

   • $f\prime \left(4\right)<0$
   • $f\prime \left(4\right)=\mathrm{0,7}$
   • $f\prime \left(4\right)=\mathrm{2,9}$

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4. Sur l'intervalle $\left]\mathrm{e};+\infty \right[$, la fonction f est continue et strictement décroissante :

   • Si $x<5$ alors $f\left(x\right)>f\left(5\right)$. Donc ${\displaystyle {\int }_4^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}>{\displaystyle {\int }_4^{5}f\left(5\right)\mathrm{d}x}$. Soit ${\displaystyle {\int }_4^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}>f\left(5\right)$

   • Si $x>5$ alors $f\left(x\right)<f\left(5\right)$. Donc ${\displaystyle {\int }_5^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<{\displaystyle {\int }_5^{6}f\left(5\right)\mathrm{d}x}$. Soit ${\displaystyle {\int }_5^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<f\left(5\right)$

   Par conséquent, ${\displaystyle {\int }_5^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<{\displaystyle {\int }_4^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

   interprétation graphique

   L'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d'équation $x=4$ et $x=5$ est supérieure à l'aire du rectangle de côtés 1 et $f\left(5\right)$ alors que l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d'équation $x=5$ et $x=6$ est inférieure à l'aire du rectangle de côtés 1 et $f\left(5\right)$

   • ${\displaystyle {\int }_5^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<{\displaystyle {\int }_4^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$
   • ${\displaystyle {\int }_5^{6}f\left(x\right)\mathrm{d}x}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$
   • La valeur moyenne de f sur $\left[4;5\right]$ est 2.

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