Baccalauréat septembre 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Antilles Guyane

exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

  1. « Un accroissement de population de 1,8 % par an peut paraître faible, il correspond pourtant à un doublement de la population en 40 ans ». Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

  2. D'après l'INED (Institut National d'Études Démographiques), la population mondiale a suivi l'évolution suivante :

    Année 19601970198019902000
    Rang de l'année xi , 0i40010203040
    Population : yi en millions d'habitants 3 0143 6834 4535 2016 080
    1. Calculer T, le taux d'évolution en pourcentage de la population mondiale entre 1960 et 2000 (arrondir à 0,1 % près).

    2. On appelle t le taux d'évolution moyen annuel, en %, entre 1960 et 2000. Montrer que t vérifie 1+t100402,017.
      En déduire une valeur approchée de t (arrondie au dixième de pourcentage).

  3. On suppose qu'à partir de l'an 2000, le taux d'évolution annuel de la population reste constant et égal à 1,8 %. Donner une estimation de la population mondiale en 2008 à 100 millions près.

    1. On décide de modéliser les données du tableau ci-dessus avec un ajustement affine.

      À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés.

    2. Calculer la population mondiale en millions d'habitants qui aurait dû être atteinte en 2008 d'après ce modèle (à 100 millions près).

  4. En fait, en 2008 on vient de dépasser 6,5 milliards d'habitants. Des deux estimations précédentes, laquelle est la plus proche de la réalité ?


EXERCICE 2 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Reporter sur votre copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.


Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On considère la fonction f définie sur 0ee+ et représentée par la courbe Cf ci-dessus. La fonction f est dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition.
Les points A1-1 et B212ln2-2 appartiennent à Cf. On désigne par C le point de Cf d'ordonnée 4.
La courbe admet pour asymptotes les axes du repère ainsi que la droite d parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point Ee1.

Pour chacune des questions ci-dessous une seule réponse est exacte ; indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la bonne affirmation sans justifier votre choix.

    • f-1=1
    • fx=0 possède une unique solution sur 0ee+
    • f1=-1

  1. Une équation d'une des asymptotes de Cf est :

    • y=e
    • x=e
    • y=-1

    • f4<0
    • f4=0,7
    • f4=2,9

    • 56fxdx<45fxdx
    • 56fxdx>12
    • La valeur moyenne de f sur 45 est 2.

EXERCICE 3 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On considère une fonction f définie sur l'intervalle -23 par fx=aex+bx+ca, b et c sont des réels fixés. Une partie de la courbe C représentative de f est représentée ci-dessous :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On dispose des renseignements suivants :

  1. On désigne par f la dérivée de la fonction f . Traduire les renseignements précédents par trois égalités utilisantf ou f.

  2. En résolvant un système, déterminer a, b et c.

  3. On admet à partir de maintenant que fx=-ex+3x+2.

    1. Étudier les variations de f sur l'intervalle -23.

    2. Montrer que f s'annule exactement une fois sur -2ln3 en un réel α.

      Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de α.

    3. Pour la suite, on admet que f s'annule exactement une fois sur ln33 en un réel β.

      Déterminer le signe de f sur l'intervalle -23.

    1. Déterminer une primitive de f sur l'intervalle -23.

    2. On considère la surface S délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation x=ln3.

      Hachurer S sur la figure en annexe.

    3. Déterminer, en justifiant avec soin, l'aire de S, en unités d'aire. On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième.


exercice 4 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Dans une résidence de vacances d'été, les touristes vont tous les jours à la plage. Ils disposent pour se déplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes. Le séjour dure un mois pour tous les vacanciers. Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80 % des touristes choisissent le minibus. On considère qu'ensuite, chaque jour, 30 % de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15 % des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.

Soit n un entier entre 1 et 31. On appelle Pn=anbn la matrice traduisant l'état probabiliste relatif au n-ième jour, où :
an représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour n ;
bn représente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le jour n.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

  2. Écrire la matrice de transition, notée M, associée à cette situation.

  3. Déterminer l'état initial P1.

    1. Calculer P2 (faire apparaître les calculs). Interpréter le résultat obtenu.

    2. On suppose que M5=0,3670,6330,3170,683 et  M6=0,3520,6480,3240,676, les coefficients ayant été arrondis au millième.
      En utilisant la matrice qui convient, déterminer la répartition prévisible le 6e jour. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1 % près.

  4. Soit P=xy la matrice correspondant à l'état stable. Déterminer x et y ; en donner une interprétation.

  5. Montrer que pour n entier compris entre 1 et 30 on a an+1=0,55an+0,15.

partie b

Pour n entier, n1, on définit la suite un par un+1=0,55un+0,15 et u1=0,8.

  1. On pose Un=un-13. Montrer que la suite Un est géométrique. On précisera la raison et le premier terme de cette suite.

  2. Exprimer Un puis un en fonction de n.

  3. En déduire la limite de la suite un. Quel résultat retrouve-t-on ?



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