Baccalauréat septembre 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

indications pour l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Dans une résidence de vacances d'été, les touristes vont tous les jours à la plage. Ils disposent pour se déplacer de deux moyens de locomotion : un minibus ou des bicyclettes. Le séjour dure un mois pour tous les vacanciers. Chaque jour, ils peuvent modifier leur choix de transport. Le premier jour, 80 % des touristes choisissent le minibus. On considère qu'ensuite, chaque jour, 30 % de ceux qui ont pris le minibus la veille choisissent la bicyclette et 15 % des vacanciers qui avaient emprunté la bicyclette la veille, choisissent le minibus.

Soit n un entier entre 1 et 31. On appelle $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice traduisant l'état probabiliste relatif au n-ième jour, où :
$a_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant le minibus le jour n ;
$b_{n}$ représente la proportion des vacanciers choisissant la bicyclette le jour n.

Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
Écrire la matrice de transition, notée M, associée à cette situation.
Déterminer l'état initial $P_{1}$ .
1. Calculer $P_{2}$ (faire apparaître les calculs). Interpréter le résultat obtenu.
2. On suppose que $M^{5} = (\begin{matrix} 0,367 & 0,633 \\ 0,317 & 0,683 \end{matrix})$ et $M^{6} = (\begin{matrix} 0,352 & 0,648 \\ 0,324 & 0,676 \end{matrix})$ , les coefficients ayant été arrondis au millième.
  En utilisant la matrice qui convient, déterminer la répartition prévisible le 6^e jour. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1 % près.
Soit $P = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ la matrice correspondant à l'état stable. Déterminer x et y ; en donner une interprétation.
théorème :
Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
— l'état $P_{n}$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_{0}$ ;
— de plus, P est l'unique solution de l'équation $X = X \times M$ où $X = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ avec $x + y = 1$ .
Montrer que pour n entier compris entre 1 et 30 on a $a_{n + 1} = 0,55 a_{n} + 0,15$ .
$P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ est la matrice traduisant l'état probabiliste le n-ième jour alors pour tout entier n compris entre 1 et 30, on a $a_{n} + b_{n} = 1$ et $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ .

partie b

Pour n entier, $n ⩾ 1$ , on définit la suite $(u_{n})$ par $u_{n + 1} = 0,55 u_{n} + 0,15$ et $u_{1} = 0,8$ .

On pose $U_{n} = u_{n} - \frac{1}{3}$ . Montrer que la suite $(U_{n})$ est géométrique. On précisera la raison et le premier terme de cette suite.
définition :
Dire qu'une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ .
Exprimer $U_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de n.
Si $(U_{n})$ est une suite géométrique de raison q, alors pour tout entier naturel n, $U_{n} = U_{p} \times q^{n - p}$ .
En déduire la limite de la suite $(u_{n})$ . Quel résultat retrouve-t-on ?

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