Baccalauréat septembre 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Antilles Guyane

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

On considère une fonction f définie sur l'intervalle [-2;3] par f(x)=aex+bx+ca, b et c sont des réels fixés. Une partie de la courbe C représentative de f est représentée ci-dessous :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On dispose des renseignements suivants :

  1. On désigne par f la dérivée de la fonction f . Traduire les renseignements précédents par trois égalités utilisantf ou f.

  2. En résolvant un système, déterminer a, b et c.

  3. On admet à partir de maintenant que f(x)=-ex+3x+2.

    1. Étudier les variations de f sur l'intervalle [-2;3].

    2. Montrer que f s'annule exactement une fois sur [-2;ln3] en un réel α. Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de α.

      théorème de la valeur intermédiaire

      Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

    3. Pour la suite, on admet que f s'annule exactement une fois sur [ln3;3] en un réel β.

      Déterminer le signe de f sur l'intervalle [-2;3].

    1. Déterminer une primitive de f sur l'intervalle [-2;3].

    2. On considère la surface S délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation x=ln3. Hachurer S sur la figure en annexe.

    3. Déterminer, en justifiant avec soin, l'aire de S, en unités d'aire. On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième.


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