sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. On désigne par $f\prime$ la dérivée de la fonction f . Traduire les renseignements précédents par trois égalités utilisantf ou $f\prime$.

   • C passe par $A\left(0;1\right)$ donc $f\left(0\right)=1$. Soit $a+c=1$

   • La droite (AB) est tangente à C au point A donc le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la droite (AB). D'où :$$\begin{array}{ccc}f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{3-1}{1-0}}=2\end{array}$$

     Or pour tout réel x de l'intervalle $\left[-2;3\right]$ , $f\prime \left(x\right)=a{\mathrm{e}}^x+b$. D'où $a+b=2$

   • C admet une tangente horizontale au point D d'abscisse $\ln 3$. Donc $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(\ln 3\right)=0& \text{Soit}& a{\mathrm{e}}^{\ln 3}+b=0& \iff & 3a+b=0\end{array}$$

   Ainsi, a, b et c sont solutions du système $\{\begin{array}{c}a+c=1\\ a+b=2\\ 3a+b=0\end{array}$

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2. En résolvant un système, déterminer a, b et c.

   $$\begin{array}{lllll}\{\begin{array}{c}a+c=1\\ a+b=2\\ 3a+b=0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a+c=1\\ a+b=2\\ 2a=-2\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}c=2\\ b=3\\ a=-1\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$ par $f\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^x+3x+2$.

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3. On admet à partir de maintenant que $f\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^x+3x+2$.

   1. Étudier les variations de f sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$.

      Les variations de f se déduisent du signe de la dérivée. Or pour tout réel x de l'intervalle $\left[-2;3\right]$ , $f\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^x+3$ et $$\begin{array}{ccccc}-{\mathrm{e}}^x+3<0& \iff & {\mathrm{e}}^x>3& \iff & x>\ln 3\end{array}$$

      D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f :

      x	− 2		$\ln 3$		3
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$f\left(\ln 3\right)$

   2. Montrer que f s'annule exactement une fois sur $\left[-2;\ln 3\right]$ en un réel α. Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de α.

      $$\begin{array}{ccc}f\left(-2\right)=-{\mathrm{e}}^{-2}-4\approx -\mathrm{4,1}& \text{et}& f\left(\ln 3\right)=-1+3\ln 3\approx \mathrm{2,3}\end{array}$$

      Sur l'intervalle $\left[-2;\ln 3\right]$, la fonction f est continue, strictement croissante et $f\left(-2\right)<0<f\left(\ln 3\right)$ Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaireSi une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$., l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha \in \left[-2;\ln 3\right]$.

      À l'aide de la calculatrice, par encadrements successifs, déterminons un encadrement de α d'amplitude 10^{− 3} :

      • $f\left(-1\right)\approx -\mathrm{1,4}$ et $f\left(0\right)=1$ donc $-1<\alpha <0$
      • $f\left(-\mathrm{0,5}\right)\approx -\mathrm{0,1}$ et $f\left(-\mathrm{0,4}\right)\approx \mathrm{0,1}$ donc $-\mathrm{0,5}<\alpha <-\mathrm{0,4}$
      • $f\left(-\mathrm{0,46}\right)\approx -\mathrm{0,01}$ et $f\left(-\mathrm{0,45}\right)\approx \mathrm{0,01}$ donc $-\mathrm{0,46}<\alpha <-\mathrm{0,45}$
      • $f\left(-\mathrm{0,456}\right)\approx -\mathrm{0,002}$ et $f\left(-\mathrm{0,455}\right)\approx \mathrm{0,0006}$ donc $-\mathrm{0,456}<\alpha <-\mathrm{0,455}$

      ---

      L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha \in \left[-2;\ln 3\right]$. L'arrondi au centième de α est $-\mathrm{0,46}$

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   3. Pour la suite, on admet que f s'annule exactement une fois sur $\left[\ln 3;3\right]$ en un réel β. Déterminer le signe de f sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$.

      Sur l'intervalle $\left[-2;\ln 3\right]$, la fonction f est strictement croissante et $f\left(\alpha \right)=0$. Donc si $-2⩽x⩽\alpha$, alors $f\left(x\right)⩽0$ et si $\alpha ⩽x⩽\ln 3$, alors $f\left(x\right)⩾0$

      f s'annule exactement une fois sur $\left[\ln 3;3\right]$ en un réel β et sur cet intervalle f est strictement décroissante. Donc si $\ln 3⩽x⩽\beta$, alors $f\left(x\right)⩾0$ et si $\beta ⩽x⩽3$, alors $f\left(x\right)⩽0$

      D'où le tableau établissant le signe de f sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$ :

      x	− 2		$\alpha$		$\beta$		3
      $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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4. 1. Déterminer une primitive de f sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$.

      D'après les formules usuelles de calcul de primitives, l'ensemble des primitives de la fonction f sont les fonctions F définies sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$ par $$F\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^x+3\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x+c=-{\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+2x+c$$

      Ainsi, une primitive de f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$ par $F\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+2x$

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   2. On considère la surface S délimitée par l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation $x=\ln 3$. Hachurer S sur la figure en annexe.

   3. Déterminer, en justifiant avec soin, l'aire de S, en unités d'aire. On donnera la valeur exacte et la valeur décimale arrondie au centième.

      • f est dérivable sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$ donc f est continue sur cet intervalle.

      • Sur l'intervalle $\left[\alpha ;\beta \right]$, $f\left(x\right)⩾0$

      Ainsi, sur l'intervalle $\left[0;\ln 3\right]$ , la fonction f est continue et positive donc l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine S est : $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_0^{\ln 3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\ln 3\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& \left(-{\mathrm{e}}^{\ln 3}+{\displaystyle \frac{3{\left(\ln 3\right)}^2}{2}}+2\ln 3\right)-\left(-{\mathrm{e}}^0\right)\hfill \\ & =& -3+{\displaystyle \frac{3{\left(\ln 3\right)}^2}{2}}+2\ln 3+1\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{3{\left(\ln 3\right)}^2}{2}}+2\ln 3-2\approx \mathrm{2,01}\hfill \end{array}$$

      L'aire du domaine S est égale à ${\displaystyle \frac{3{\left(\ln 3\right)}^2}{2}}+2\ln 3-2$ unités d'aire soit arrondi au centième 2,01 unités d'aire.

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