Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0, 5 point. L'absence de réponse n'enlève et ne rapporte aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

Dans $ℝ$ , l'équation $\ln (x + 4) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 1)$
L'équation $\ln (x + 4) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 1)$ est définie pour tout réel x tel que $\begin{matrix} x + 4 > 0 & et & x - 2 > 0 & et & 2 x + 1 > 0 \\ Soit & x > - 4 & et & x > 2 & et & x > - \frac{1}{2} \end{matrix}$
Ainsi, l'équation $\ln (x + 4) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 1)$ est définie pour tout réel x de l'intervalle $] 2; + \infty [$ et pour tout réel $x > 2$ , $\begin{array}{l} \ln (x + 4) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 1) & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} \ln (x + 4) (x - 2) = \ln (2 x + 1) \\ x > 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} (x + 4) (x - 2) = (2 x + 1) \\ x > 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x^{2} + 4 x - 2 x - 8 = 2 x + 1 \\ x > 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x^{2} - 9 = 0 \\ x > 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} (x + 3) (x - 3) = 0 \\ x > 2 \end{matrix} \end{array}$
L'équation $\ln (x + 4) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 1)$ admet pour unique solution 3.
A : n'a pas de solution.
B : admet exactement une solution.
C : admet exactement deux solutions.

On connaît la représentation graphique de deux fonctions f et g définies sur l'intervalle $[0; 7]$


fonction f	fonction g

L'affirmation A est manfestement fausse : le minimum de la fonction f est atteint en 4, le minimum de la fonction g est atteint en 2.
Sur l'intervalle $[0; 6]$ , f est négative, la fonction g est croissante sur l'intervalle $[2; 6]$ donc la fonction f n'est pas la dérivée de la fonction g.
La fonction g s'annule en changeant de signe pour $x = 4$ et g est négative sur l'intervalle $[0; 4]$ , donc les primitives de la fonction g admettent un minimum pour $x = 4$ .

A : Les fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle $[0; 7]$ .

B : La fonction f est la dérivée de la fonction g.

C : La fonction f est une primitive de la fonction g.

On sait que f est une fonction strictement positive sur $ℝ$ et que $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 0$
f est une fonction strictement positive telle que $\lim_{x \to - \infty} f (x) = 0$ et $\lim_{X \to 0^{+}} \ln (X) = - \infty$ alors par composition, $\lim_{x \to - \infty} \ln (f (x)) = - \infty$ .
A : $\lim_{x \to - \infty} \ln (f (x)) = 1$ .
B : La limite de $\ln (f)$ en $- \infty$ n'existe pas.
C : $\lim_{x \to - \infty} \ln (f (x)) = - \infty$ .
L'intégrale $\int_{- 1}^{0} e^{- x} d x$ est égale à
$\begin{array}{l} \int_{- 1}^{0} e^{- x} d x & = & {[- e^{- x}]}_{- 1}^{0} \\ = & (- e^{- 0}) - (- e^{- (- 1)}) \\ = & - 1 + e \end{array}$
A : $e - 1$ .
B : $1 - e$ .
C : $1 + e$ .

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