sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de services la personne propose dans ses services l'entretien de jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours à des employés temps partiel pour une durée globale de x heures, et elle loue le matériel nécessaire pour une durée globale de y heures. La surface de jardin, exprimée en centaines de m², est donnée par la fonction $f\left(x;y\right)=\sqrt{2xy}$ où x et y sont exprimées en heures.
Une heure de travail coûte 15 euros et une heure de location du matériel coûte 30 euros. Les contraintes matérielles imposent que $0⩽x⩽120$ et $0⩽y⩽100$.
La figure 1 donnée en annexe représente la surface S d'équation $z=f\left(x;y\right)$.
La figure 2 donnée en annexe représente la projection orthogonale de la surface S sur le plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$, les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de 10 en 10.

1. 1. Les points $A\left(20;40;z_A\right)$ et $B\left(60;y_B;60\right)$ sont des points de la surface S. Déterminer pour chacun la coordonnée manquante.

      Les points $A\left(20;40;z_A\right)$ et $B\left(60;y_B;60\right)$ sont des points de la surface S alors leurs coordonnées vérifient l'équation de la surface d'où $$\begin{array}{ccc}{z}_A=\sqrt{2\times 20\times 40}=40& \text{et}& 60=\sqrt{2\times 60\times y_B}\iff y_B={\displaystyle \frac{{60}^2}{120}}=30\end{array}$$

      Les coordonnées des points A et B sont $A\left(20;40;40\right)$ et $B\left(60;30;60\right)$

      ---

   2. Lire sur la figure 1 les coordonnées du point C et en donner une interprétation correcte.

      Les coordonnées du point C sont $C\left(90;20;60\right)$ . C'est à dire qu'avec 90 heures de travail salarié et 20 heures de location de matériel la surface de jardin traitée est de 6000 m².

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   3. Placer sur la figure 1 le point D de coordonnées $\left(10;80;40\right)$.

      figure 1

   4. Donner la nature de la courbe de niveau $z=50$.

      La courbe de niveau $z=50$ est l'intersection du plan d'équation $z=50$ et de la surface d'équation $z=\sqrt{2xy}$. Dans le plan, cette courbe a pour équation $$\begin{array}{ccccc}\sqrt{2xy}=50& \text{Soit}& 2xy=2500& \text{D'où pour }x\ne 0& y={\displaystyle \frac{1250}{x}}\end{array}$$

      Dans un plan, la courbe d'équation $y={\displaystyle \frac{1250}{x}}$ avec $x>0$ et $y>0$ est une branche d'hyperbole.

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2. Les contraintes financières imposent de fixer le coût hebdomadaire correspondant 2 400 euros.

   1. Démontrer que x et y sont liés par la relation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$.

      Le coût hebdomadaire en euros, de x heures de travail salarié et y heures de location de matériel est $15x+30y$ . D'où x et y vérifient la relation $$\begin{array}{ccc}15x+30y=2400& \iff & y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}+80\end{array}$$

      Sous la contrainte d'un coût hebdomadaire de 2 400 euros, x et y sont liés par la relation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$.

      ---

   2. Quelle est la nature de l'ensemble $\left(ℰ\right)$ des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$ ?

      L'ensemble $\left(ℰ\right)$ des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$ est un plan parallèle à l'axe $\left(\mathrm{O}z\right)$.

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   3. Représenter l'ensemble $\left(ℰ\right)$ sur la figure 2 de l'annexe.

      L'intersection du plan $\left(ℰ\right)$ avec le plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$ est une droite passant par les points de coordonnées $\left(0;80\right)$ et $\left(120;20\right)$

      figure 2

   4. En déduire graphiquement la surface de jardin maximum qu'on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 2 400 euros.

      La surface de jardin maximum qu'on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 2 400 euros est la cote maximale des points d'intersection de la surface S avec le plan $\left(ℰ\right)$.

      Sur la figure 2 ci-dessus c'est la courbe de niveau $z=80$ qui correspond à la cote cherchée. L'hyperbole représentant la courbe de niveau $z=80$ est tangente à la trace du plan $\left(ℰ\right)$ au point de coordonnées $\left(80;40\right)$.

      La surface de jardin maximum qu'on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 2 400 euros est de 8000 m².

      ---

3. 1. Vérifier que, sous la contrainte $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$, z peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$, g étant la fonction définie sur $\left[0;120\right]$ par $g\left(x\right)=\sqrt{160x-x^2}$.

      $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2xy}\\ y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80\\ 0⩽x⩽120\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}z=\sqrt{2x\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80\right)}\\ 0⩽x⩽120\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}z=\sqrt{-x^2+160x}\\ 0⩽x⩽120\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, sous la contrainte $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$, z peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$, g étant la fonction définie sur $\left[0;120\right]$ par $g\left(x\right)=\sqrt{160x-x^2}$.

      ---

   2. Démontrer que sur $\left]0;120\right]$, $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{80-x}{\sqrt{160x-x^2}}}$, $g\prime$ désignant la fonction dérivée de g, puis démontrer que la fonction g admet un maximum sur l'intervalle $\left[0;120\right]$.

      Pour tout réel x, $160x-x^2=x\left(160-x\right)$ . Les racines du polynôme du second degré $160x-x^2$ sont donc 0 et 160. Par conséquent, sur $\left]0;120\right]$, $160x-x^2>0$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;120\right]$, posons $u\left(x\right)=160x-x^2$ alors $g=\sqrt{u}$ avec $u>0$ . g est dérivable sur l'intervalle $\left]0;120\right]$ et $g\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{2\sqrt{u}}}$ . D'où $$g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{160-2x}{2\sqrt{160x-x^2}}}={\displaystyle \frac{80-x}{\sqrt{160x-x^2}}}$$

      Ainsi, $g\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;120\right]$ par $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{80-x}{\sqrt{160x-x^2}}}$

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      étude des variations

      • méthode 1 :

        Sur l'intervalle $\left]0;120\right]$ les fonctions u et $g=\sqrt{u}$ ont les mêmes variations. Or la fonction u admet un maximum pour $x=80$

        Donc sur $\left]0;120\right]$ la fonction g admet un maximum atteint pour $x=80$

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      • méthode 2 :

        Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée $g\prime$

        x	0		80		120
        $g\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
        $g\left(x\right)$

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        Ainsi, sur $\left]0;120\right]$ la fonction g admet un maximum atteint pour $x=80$

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   3. En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaire qui permettent de traiter une surface maximum.

      D'après la question précédente, le maximum de la fonction g est atteint pour $x=80$ . D'où $$\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 80+80=40& \text{et}& g\left(80\right)=\sqrt{160\times 80-{80}^2}=80\end{array}$$

      Avec coût hebdomadaire de 2 400 euros, la surface maximale qu'on peut traiter est de 8000 m² en utilisant 80 heures de travail salarié et 40 heures de location de matériel.

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