sujet : Liban

indications pour l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de services la personne propose dans ses services l'entretien de jardins. Pour ce service, cette entreprise a recours à des employés temps partiel pour une durée globale de x heures, et elle loue le matériel nécessaire pour une durée globale de y heures. La surface de jardin, exprimée en centaines de m², est donnée par la fonction $f\left(x;y\right)=\sqrt{2xy}$ où x et y sont exprimées en heures.
Une heure de travail coûte 15 euros et une heure de location du matériel coûte 30 euros. Les contraintes matérielles imposent que $0⩽x⩽120$ et $0⩽y⩽100$.
La figure 1 donnée en annexe représente la surface S d'équation $z=f\left(x;y\right)$.
La figure 2 donnée en annexe représente la projection orthogonale de la surface S sur le plan $\left(x\mathrm{O}y\right)$, les courbes de niveau de cette surface étant représentées pour z variant de 10 en 10.

1. 1. Les points $A\left(20;40;z_A\right)$ et $B\left(60;y_B;60\right)$ sont des points de la surface S.
      Déterminer pour chacun la coordonnée manquante.

   2. Lire sur la figure 1 les coordonnées du point C et en donner une interprétation correcte.

   3. Placer sur la figure 1 le point D de coordonnées $\left(10;80;40\right)$.

   4. Donner la nature de la courbe de niveau $z=50$.

      Dans un plan, $y={\displaystyle \frac{k}{x}}$ avec $x\ne 0$ est l'équation d'une hyperbole.

2. Les contraintes financières imposent de fixer le coût hebdomadaire correspondant 2 400 euros.

   1. Démontrer que x et y sont liés par la relation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$.

      Le coût hebdomadaire en euros, de x heures de travail salarié et y heures de location de matériel est $15x+30y$

   2. Quelle est la nature de l'ensemble $\left(ℰ\right)$ des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$ ?

      Dans l'espace muni d'un repère, $ax+by+cz=d$ est l'équation d'un plan.

   3. Représenter l'ensemble $\left(ℰ\right)$ sur la figure 2 de l'annexe.

   4. En déduire graphiquement la surface de jardin maximum qu'on peut traiter avec un coût hebdomadaire de 2 400 euros.

3. 1. Vérifier que, sous la contrainte $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$, z peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$, g étant la fonction définie sur $\left[0;120\right]$ par $g\left(x\right)=\sqrt{160x-x^2}$.

      $z=\sqrt{2xy}$ et $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+80$

   2. Démontrer que sur $\left]0;120\right]$, $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{80-x}{\sqrt{160x-x^2}}}$, $g\prime$ désignant la fonction dérivée de g, puis démontrer que la fonction g admet un maximum sur l'intervalle $\left[0;120\right]$.

      $g=\sqrt{u}$ avec $u>0$ donc g est dérivable et $g\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{2\sqrt{u}}}$

   3. En déduire le temps de travail et la durée de location hebdomadaire qui permettent de traiter une surface maximum.

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