Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Un magasin de vêtements démarqués a reçu un lot important de chemisiers en coton. Le propriétaire du magasin constate que les chemisiers peuvent présenter deux types de défauts: un défaut de coloris ou un bouton manquant. Il note aussi que :

4 % de ces chemisiers présentent un défaut de coloris,
3 % des chemisiers ont un bouton manquant,
2 % des chemisiers ont à la fois un défaut de coloris et un bouton manquant.

Une cliente prend au hasard un chemisier dans le lot. On considère les événements suivants:

B : « le chemisier a un bouton manquant »,
C : « le chemisier présente un défaut de coloris ».

Calculer la probabilité des événements suivants :
- D : « cette cliente prend un chemisier ayant au moins un défaut »,
- E : « cette cliente prend un chemisier ayant un seul défaut »,
- F : « cette cliente prend un chemisier sans défaut ».
Représentons les données dans un tableau :
B $\bar{B}$ Total
C 0,02 0,04
$\bar{C}$
Total 0,03 1
Nous avons :
- L'évènement D est l'évènement "le chemisier a le défaut B ou le défaut C" : $\begin{matrix} p (D) = p (B \cup C) = p (B) + p (C) - p (B \cap C) & Soit & p (D) = 0,03 + 0,04 - 0,02 = 0,05 \end{matrix}$
  La probabilité que la cliente prenne un chemisier ayant au moins un défaut est égale à 0,05.
- L'évènement E est l'évènement "le chemisier a seulement le défaut B ou seulement le défaut C" : $\begin{array}{l} p (E) & = & p ((B \cap \bar{C}) \cup (C \cap \bar{B})) & = & (p (B) - p (B \cap C)) + (p (C) - p (B \cap C)) \\ = & (0,03 - 0,02) + (0,04 - 0,02) = 0,03 \end{array}$
  La probabilité que la cliente prenne un chemisier ayant un seul défaut est égale à 0,03.
- L'évènement F est l'évènement contraire de l'évènement D. D'où $\begin{matrix} p (F) = 1 - p (D) & Soit & p (F) = 1 - 0,05 = 0,95 \end{matrix}$
  La probabilité que la cliente prenne un chemisier sans défaut est égale à 0,95.
On sait que le chemisier qui intéresse la cliente présente un défaut de coloris. Quelle est la probabilité qu'il manque un bouton à ce chemisier ?
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement B sachant que l'évènement C est réalisé : $\begin{matrix} p_{C} (B) = \frac{p (B \cap C)}{p (C)} & Soit & p_{C} (B) = \frac{0,02}{0,04} = 0,5 \end{matrix}$
La probabilité qu'il manque un bouton à un chemisier ayant un défaut de coloris est égale à 0,5.
Une autre cliente prend au hasard deux chemisiers dans le lot. Ces choix peuvent être assimilés à un tirage au hasard avec remise dans le lot de chemisiers. Quelle est la probabilité que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant ?
Dans cette question, on s'intéresse uniquement à la réalisation de l'évènement B ou à sa non réalisation $\bar{B}$ . Il s'agit donc de la répétition de deux expériences de Bernoulli indépendantes, modélisées par l'arbre ci-dessous :
La loi de probabilité associée au nombre de chemisiers ayant un bouton manquant, est une loi binomiale de paramètres 0,03 et 2.
Il n'y a que deux issues $(B \cap \bar{B})$ correspondant à l'évènement G "un seul des deux chemisiers a un bouton manquant". D'où $p (G) = 2 \times 0,03 \times 0,97 = 0,0582$
La probabilité que sur les deux chemisiers choisis, un seul ait un bouton manquant est égale à 0,0582.
Le propriétaire du magasin vend un chemisier sans défaut 40 euros, il fait une remise de 20 % si le chemisier a un seul défaut, et de 50 % s'il a les deux défauts.
1. Établir la loi de probabilité du prix de vente en euros, noté X, d'un chemisier.
  - Le prix de vente en euros d'un chemisier ayant un seul défaut est égal à : $40 \times 0,8 = 32$
    Le prix de vente en euros d'un chemisier ayant deux défauts est égal à : $40 \times 0,5 = 20$
  - La loi de probabilité du prix de vente en euros est donc :
    X 20 32 40
    Probabilité $p_{i}$ 0,02 0,03 0,95
2. Quel chiffre d'affaires le propriétaire peut-il espérer faire sur la vente de cent chemisiers ?
  L'espérance mathématique de la loi de probabilité du prix de vente est $E (X) = 20 \times 0,02 + 32 \times 0,03 40 \times 0,95 = 39,36$
  Pour une grande quantité de chemisiers vendus, le prix de vente moyen est de 39,36 €.
  Le chiffre d'affaires que le propriétaire peut espérer faire sur la vente de cent chemisiers est donc de 3 936 €.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.

	B	$\bar{B}$	Total
C	0,02		0,04
$\bar{C}$
Total	0,03		1

X	20	32	40
Probabilité $p_{i}$	0,02	0,03	0,95