Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

correction de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la production d'énergie d'origine éolienne en France, exprimée en milliers de tonnes d'équivalent pétrole (Ktep) .

Source : INSEE avril 2008
Année 2000200220032004200520062007
Rang de l'année xi0234567
Production yi723345183188348
    1. Calculer le pourcentage d'augmentation de la production entre 2000 et 2007.

      Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'augmentation de la production entre 2000 et 2007 est 348749,71

      En France, la production d'énergie d'origine éolienne a augmenté de 4871 % entre 2000 et 2007.


    2. Justifier que le pourcentage d'augmentation annuel moyen de la production entre 2000 et 2007 est 74,72 %, valeur arrondie au centième.

      Soit t le taux du pourcentage d'augmentation annuel moyen de la production entre 2000 et 2007 alors t est solution de l'équation (1+t100)7=34871+t100=(3487)17d'oùt1000,74724

      Ainsi, le pourcentage d'augmentation annuel moyen de la production entre 2000 et 2007 est de 74,72 %, (valeur arrondie au centième).


    3. En utilisant ce pourcentage d'augmentation annuel moyen de 74,72 %, déterminer la valeur obtenue en partant de l'année 2000 pour la production d'énergie d'origine éolienne en 2005 ? On donnera la valeur arrondie à l'unité.
      Quel est le pourcentage d'erreur par rapport à la valeur réelle ?

      Avec pourcentage d'augmentation annuel moyen de 74,72 %, la production d'énergie d'origine éolienne en 2005 devrait être de : 7×1,74725113,9

      Le taux du pourcentage d'erreur par rapport à la valeur réelle est : 114-8383×10037,35

      Avec pourcentage d'augmentation annuel moyen de 74,72 %, la production d'énergie d'origine éolienne en 2005 devrait être de 114 Ktep ce qui représente une erreur de 37,35 % par rapport à la valeur réelle.


  1. Dans cette question, on se propose de réaliser un ajustement de type exponentiel. On pose z=lny.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis au centième.

      xi0234567
      zi=lnyi1,953,143,533,934,425,245,85
    2. Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; les résultats seront arrondis au centième.

      Une équation de la droite de régression de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est z=0,54x+1,92 (coefficients arrondis au dixième)


    3. En déduire que : y=6,82×1,72x, les résultats seront arrondis au centième.

      Pour tout réel y>0, z=lnyy=expz d'où y=e0,54x+1,92y=(e0,54)x×e1,92Soity1,716x×6,82

      y=6,82×1,72x (les résultats sont arrondis au centième).


    4. En utilisant cet ajustement, déterminer la valeur arrondie à l'unité obtenue pour 2005.

      Avec cet ajustement, la production d'énergie d'origine éolienne en 2005 devrait être de : 6,82×1,725102,6

      Avec cet ajustement, la production d'énergie d'origine éolienne en 2005 serait de 103 Ktep.


  2. On a représenté le nuage de points (xi;yi) ainsi que l'ajustement précédent dans un repère semi-logarithmique donné ci-dessous.

    Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. À l'aide du graphique, estimer la production pour l'année 2009. Placer le point correspondant sur le graphique.

      Graphiquement, la production pour l'année 2009 est l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 9.

      La production pour l'année 2009 peut être estimée à 900 Ktep.


    2. À l'aide du graphique, déterminer à partir de quelle année la production de 2007 sera multipliée par dix. On mettra en évidence sur le graphique toute trace utile pour la réponse

      L'abscisse du point de la droite dont l'ordonnée est égale à 3480 est comprise entre 11 et 12.

      La production de 2007 sera multipliée par dix en 2012.



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