Baccalauréat juin 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Liban

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction définie sur [0;+[ par f(x)=10+(x-3)ex.

    1. Déterminer la limite de f en +.

      limx+ex=+ et limx+x-3=+ donc par produit, limx+(x-3)ex=+

      Ainsi, limx+f(x)=+


    2. Démontrer que f(x)=(x-2)ex et étudier le signe de f sur l'intervalle [0;+[.

      • f(x)=10+u(x)×v(x) avec {u(x)=x-3d'oùu(x)=1v(x)=exd'oùv(x)=ex . Donc f est dérivable sur l'intervalle [0;+[ et f=uv+uv. Soit f(x)=ex+(x-3)exf(x)=(x-2)ex

        Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle [0;+[ par f(x)=(x-2)ex


      • Pour tout réel x, ex>0 alors, f(x) est du même signe que x-2 . D'où

        Sur l'intervalle [0;2[, f(x)<0, f(2)=0 et f(x)>0 sur l'intervalle ]2;+[.


    3. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0;+[.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée f :

      x0 2 +
      f(x) 0||+ 
      f(x)

      7

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      10-e2

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      +

    4. En déduire le signe de f(x) sur l'intervalle [0;+[.

      Le minimum de la fonction f est atteint pour 2 et f(2)=10-e22,61 Par conséquent, pour tout réel x0, f(x)f(2)f(x)>0

      f(x)>0 sur l'intervalle [0;+[.


    1. Démontrer que la fonction G:x(x-4)ex est une primitive sur [0;+[ de la fonction g:x(x-3)ex.

      Dire que la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle [0;+[ signifie que pour tout x[0;+[, G(x)=g(x).

      G=u×v avec {u(x)=x-4d'oùu(x)=1v(x)=exd'oùv(x)=ex . Donc G est dérivable sur l'intervalle [0;+[ et G=uv+uv. Soit G(x)=ex+(x-4)exG(x)=(x-3)ex

      Ainsi, pour tout x[0;+[, G(x)=g(x) donc la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle [0;+[.


    2. En déduire une primitive F de la fonction f sur l'intervalle [0;+[.

      Pour tout x[0;+[, f(x)=10+g(x)F(x)=10x+G(x)

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur [0;+[ par F(x)=10x+(x-4)ex.


    3. Étudier le sens de variation de F sur l'intervalle [0;+[.

      F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0;+[ alors pour tout x[0;+[, F(x)=f(x). Or f(x)>0 sur l'intervalle [0;+[.

      Donc F est une fonction strictement croissante sur l'intervalle [0;+[.


partie b

Une entreprise fabrique x tonnes d'un certain produit, avec x[0;4]. Le coût marginal de fabrication pour une production de x tonnes est donné par f(x) exprimé en milliers d'euros, où f est la fonction définie dans la partie A.

  1. Les coûts fixes de l'entreprise s'élèvent à 20 000 euros. On assimile le coût total x à une primitive du coût marginal. En utilisant les résultats de la question A 2., déterminer le coût total de fabrication C(x), exprimé en milliers d'euros.

    • On assimile le coût total x à une primitive du coût marginal alors :C(x)=F(x)+ksoitC(x)=10x+(x-4)ex+k

    • Les coûts fixes de l'entreprise s'élèvent à 20 000 euros alors :C(0)=20soit-4e0+k=20k=24

    La fonction qui modélise le coût total est la fonction C définie sur l'intervalle [0;4] par C(x)=10x+(x-4)ex+24.


  2. L'entreprise désire adapter sa production pour atteindre un coût marginal de 11  292 euros.

    1. En utilisant la partie A démontrer qu'il est possible d'atteindre un coût marginal de 11 292 euros.
      Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

      Sur l'intervalle [0;4], le coût marginal de fabrication pour une production de x tonnes est donné par f(x) exprimé en milliers d'euros. x est donc solution de l'équation f(x)=11,292

      Or d'après la partie A :

      Il existe une production comprise entre 2 tonnes et 4 tonnes qui permet d'obtenir un coût marginal de 11 292 euros.


    2. Déterminer la production correspondante, à 10 kg près.

      À l'aide de la calculatrice, par encadrements successifs, déterminons un encadrement de α d'amplitude 10− 3 :

      • f(3)=10 et f(4)65,6 donc 3<α<4
      • f(3)=10 et f(3,1)12,22 donc 3<α<3,1
      • f(3,06)=11,28 et f(3,07)11,51 donc 3,06<α<3,07
      • f(3,06)=11,28 et f(3,061)11,302 donc 3,06<α<3,061

      À 10 kg près, la production qui permet d'obtenir un coût marginal de 11 292 euros est de 3 060 kg.


    3. Quel est alors le coût moyen de fabrication ?
      On rappelle que le quotient C(x)x est appelé coût moyen de fabrication pour une production de x tonnes de produit.

      C(3,06)3,06=10×3,06+(3,06-4)×e3,06+243,0611,2915

      Le coût moyen de fabrication est de 11 292 euros.


      remarque :

      Le coût moyen est minimal quand il est égal au coût marginal.



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