sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie i

1. Représenter la série $\left(x;y\right)$ sur le graphique en annexe 1.

   annexe 1

2. Donner, sans justification, une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à 0,001 près).

   Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{11,115}x-\mathrm{11,649}$ (coefficients arrondis à 0,001 près)

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3. Donner une estimation du taux d'équipement des ménages français en 2010 en utilisant cet ajustement. Que pensez-vous du résultat ?

   Le rang de l'année 2010 est 12. D'où une estimation du taux d'équipement des ménages français :$$\mathrm{11,115}\times 12-\mathrm{11,649}=\mathrm{121,731}$$

   Un taux d'équipement des ménages français en lecteurs de DVD de 121,7% en 2010 ne semble pas réaliste.

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partie ii

On admettra que la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-x}}}$ représentée sur le graphique en annexe 1 réalise un bon ajustement de cette série.

1. 1. Déterminer le sens de variation de cette fonction.

      • méthode 1 : Variations des fonctions composées

        La fonction u définie sur $ℝ$ par $u:x⟼{\mathrm{e}}^{-x}$ est strictement décroissante.
        La fonction v définie sur $ℝ$ par $v:x⟼1+\mathrm{116,8}x$ est strictement croissante.
        La fonction w définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $w:x⟼{\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}}{x}}$ est strictement décroissante.

        Il s'ensuit que par composition la fonction définie sur $ℝ$ par $w\circ v\circ u:x⟼{\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-x}}}$ est strictement croissante.

        La fonction f est strictement croissante.

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      • méthode 2 : Étude du signe de la dérivée

        $f={\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}}{u}}$ d'où $f\prime =-{\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}u\prime }{u^2}}$   avec $u\left(x\right)=1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-x}$ et $u\prime \left(x\right)=-\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-x}$ . D'où $$f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}\times \left(-\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-x}\right)}{{\left(1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9665,2}{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}}$$

        Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc ${\displaystyle \frac{\mathrm{9665,2}{\mathrm{e}}^{-x}}{{\left(1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-x}\right)}^2}}>0$

        Ainsi, sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)>0$ donc la fonction f est strictement croissante.

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   2. Donner, en utilisant ce nouvel ajustement, le taux d'équipement prévu en 2010 et en 2012. (On arrondira le résultat au centième)

      $\begin{array}{ccc}f\left(12\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-12}}}\approx \mathrm{82,69}& \text{et}& f\left(14\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-14}}}\approx \mathrm{82,74}\end{array}$

      Avec ce modèle, on peut prévoir un taux d'équipement des ménages français en lecteurs de DVD de 82,69% en 2010 et de 82,74% en 2012.

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2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation
   En utilisant ce modèle, peut-on estimer que le taux d'équipement des ménages atteindra 90 %? Si oui, en quelle année ?

   • méthode 1 : Étude la limite en $+\infty$

     L'allure de la courbe représentative suggère de calculer la limite de la fonction f en $+\infty$

     $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-x}}}=\mathrm{82,75}$

     f est une fonction strictement croissante et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{82,75}$ donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\left(x\right)<\mathrm{82,75}$

     Avec ce modèle, le taux d'équipement des ménages ne peut pas atteindre 90 %

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   • méthode 2 : À l'aide d'une inéquation

     Le rang de l'année est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-n}}}⩾90& \iff & {\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-n}}}-90⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\mathrm{82,75}-90-10512{\mathrm{e}}^{-n}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-n}}}⩾0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-\mathrm{7,25}-10512{\mathrm{e}}^{-n}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-n}}}⩾0\end{array}$$

     Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $-{\displaystyle \frac{\mathrm{7,25}+10512{\mathrm{e}}^{-n}}{1+\mathrm{116,8}{\mathrm{e}}^{-n}}}<0$ .

     L'inéquation $f\left(x\right)⩾0$ n'a pas de solution donc avec ce modèle, il n'est pas possible d'atteindre un taux d'équipement des ménages de 90%

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