Baccalauréat session 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne les taux d'équipement des ménages français en lecteurs de DVD, de 1998 à 2006.

Sources : GIK-CNC/DEPS
Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Rang de l'année x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Pourcentage y 0,2 1,5 4,9 12 23,3 41,6 59,9 75 76,9

partie i

  1. Représenter la série xy sur le graphique en annexe 1.

    annexe 1

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  2. Donner, sans justification, une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à 0,001 près).

    Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est y=11,115x-11,649 (coefficients arrondis à 0,001 près)


  3. Donner une estimation du taux d'équipement des ménages français en 2010 en utilisant cet ajustement. Que pensez-vous du résultat ?

    Le rang de l'année 2010 est 12. D'où une estimation du taux d'équipement des ménages français :11,115×12-11,649=121,731

    Un taux d'équipement des ménages français en lecteurs de DVD de 121,7% en 2010 ne semble pas réaliste.


partie ii

On admettra que la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 0+ par fx=82,751+116,8e -x représentée sur le graphique en annexe 1 réalise un bon ajustement de cette série.

    1. Déterminer le sens de variation de cette fonction.

      • méthode 1 : Variations des fonctions composées

        La fonction u définie sur par u:xe-x est strictement décroissante.
        La fonction v définie sur par v:x1+116,8x est strictement croissante.
        La fonction w définie sur 0+ par w:x82,75x est strictement décroissante.

        Il s'ensuit que par composition la fonction définie sur par wvu:x82,751+116,8e -x est strictement croissante.

        La fonction f est strictement croissante.


      • méthode 2 : Étude du signe de la dérivée

        f=82,75u d'où f=-82,75uu2   avec ux=1+116,8e -x et ux=-116,8e -x . D'où fx=-82,75×-116,8e-x1+116,8e-x2=9665,2e-x1+116,8e-x2

        Or pour tout réel x, e-x>0 donc 9665,2e-x1+116,8e-x2>0

        Ainsi, sur l'intervalle 0+, fx>0 donc la fonction f est strictement croissante.


    2. Donner, en utilisant ce nouvel ajustement, le taux d'équipement prévu en 2010 et en 2012. (On arrondira le résultat au centième)

      f12=82,751+116,8e -1282,69etf14=82,751+116,8e -1482,74

      Avec ce modèle, on peut prévoir un taux d'équipement des ménages français en lecteurs de DVD de 82,69% en 2010 et de 82,74% en 2012.


  1. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation
    En utilisant ce modèle, peut-on estimer que le taux d'équipement des ménages atteindra 90 %? Si oui, en quelle année ?

    • méthode 1 : Étude la limite en + ∞

      L'allure de la courbe représentative suggère de calculer la limite de la fonction f en + ∞

      limx+e -x=0 d'où limx+82,751+116,8e -x=82,75

      f est une fonction strictement croissante et limx+fx=82,75 donc pour tout réel x de l'intervalle 0+, fx<82,75

      Avec ce modèle, le taux d'équipement des ménages ne peut pas atteindre 90 %


    • méthode 2 : À l'aide d'une inéquation

      Le rang de l'année est le plus petit entier n tel que 82,751+116,8e-n9082,751+116,8e -n-900 82,75-90-10512e-n1+116,8e-n0 -7,25-10512e-n1+116,8e-n0

      Or pour tout réel x, e-x>0 donc -7,25+10512e-n1+116,8e-n<0 .

      L'inéquation fx0 n'a pas de solution donc avec ce modèle, il n'est pas possible d'atteindre un taux d'équipement des ménages de 90%



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