sujet : Nouvelle Calédonie

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. Tracer un graphe probabiliste représentant la situation décrite ci-dessus.

   Soient $A_n$ l'évènement : « un salarié interrogé au hasard l'année 2007 + n utilise sa voiture » et $B_n$ l'évènement : « un salarié interrogé au hasard l'année 2007 + n n'utilise pas sa voiture ».
   D'une année sur l'autre, on considère que 30 % des salariés utilisant leur voiture une année ne l'utilisent plus l'année suivante et 5 % des personnes ne l'utilisant pas l'utilisent l'année suivante. Donc $$\begin{array}{cccc}& p_{A_n}\left(B_{n+1}\right)=\mathrm{0,3}& \text{d'où}& p_{A_n}\left(A_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}\\ & p_{B_n}\left(A_{n+1}\right)=\mathrm{0,05}& \text{d'où}& p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}\end{array}$$

   Le graphe probabiliste qui représente la situation est donc :

2. Donner la matrice de transition correspondant à ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

   La matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre est $$M=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)$$

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3. En supposant que cette évolution se poursuive et en utilisant la question précédente, quelle est la probabilité qu'un salarié de cette entreprise utilise sa voiture personnelle en 2009 ? En 2010 ?
   (On arrondira les résultats obtenus au centième)

   La matrice ligne décrivant l'état probabiliste en 2009 est $$P_2=P_0\times M^2$$

   Soit $$P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,6}& \mathrm{0,4}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,336}& \mathrm{0,664}\end{array}\right)$$

   La matrice ligne décrivant l'état probabiliste en 2010 est $$P_3=P_2\times M$$

   Soit $$P_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,336}& \mathrm{0,664}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ll}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,2684}& \mathrm{0,7316}\end{array}\right)$$

   Arrondis au centième, la probabilité qu'un salarié de cette entreprise utilise sa voiture personnelle en 2009 est égale à 0,34. En 2010 la probabilité sera de 0,27.

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4. 1. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a la relation $a_{n+1}=\mathrm{0,7}{a}_n+\mathrm{0,05}{b}_n$.
      En déduire que $a_{n+1}=\mathrm{0,65}{a}_n+\mathrm{0,05}$.

      $P_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)$ est la matrice traduisant l'état probabiliste l'année 2007 + n alors pour tout entier n, $a_n+b_n=1$, et pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=P_n\times M$. Donc $$\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& b_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,7}& \mathrm{0,3}\\ \mathrm{0,05}& \mathrm{0,95}\end{array}\right)& \text{avec}& a_n+b_n=1\end{array}$$

      Soit $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=\mathrm{0,7}{a}_n+\mathrm{0,05}{b}_n\\ b_{n+1}=\mathrm{0,3}{a}_n+\mathrm{0,95}{b}_n\\ a_n+b_n=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=\mathrm{0,7}{a}_n+\mathrm{0,05}\times \left(1-a_n\right)\\ b_{n+1}=\mathrm{0,3}\left(1-b_n\right)+\mathrm{0,95}{b}_n\\ a_n+b_n=1\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=\mathrm{0,65}{a}_n+\mathrm{0,05}\\ b_{n+1}=\mathrm{0,65}{b}_n+\mathrm{0,3}\\ a_n+b_n=1\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier n, $a_{n+1}=\mathrm{0,65}{a}_n+\mathrm{0,05}$.

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   2. On admet que $a_n$ peut alors s'écrire, pour tout entier naturel n, $a_n={\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{16}{35}}\times {\mathrm{0,65}}^n$
      Vérifier la validité de cette formule pour $a_0$, $a_1$ et $a_2$

      • $\begin{array}{ccc}{a}_0=\mathrm{0,6}& \text{et}& {\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{16}{35}}\times {\mathrm{0,65}}^0=\mathrm{0,6}\end{array}$

      • $\begin{array}{ccc}{a}_1=\mathrm{0,65}\times \mathrm{0,6}+\mathrm{0,05}=\mathrm{0,44}& \text{et}& {\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{16}{35}}\times {\mathrm{0,65}}^1=\mathrm{0,44}\end{array}$

      • $\begin{array}{ccc}{a}_2=\mathrm{0,336}& \text{et}& {\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{16}{35}}\times {\mathrm{0,65}}^2=\mathrm{0,336}\end{array}$

      La formule est valide pour $a_0$, $a_1$ et $a_2$

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5. 1. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$

      $0<\mathrm{0,65}<1$ alors , $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,65}}^n=0$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{16}{35}}\times {\mathrm{0,65}}^n={\displaystyle \frac{1}{7}}$.

      $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{1}{7}}$ donc la suite $\left(a_n\right)$ converge vers ${\displaystyle \frac{1}{7}}$.

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   2. En supposant que cette évolution se poursuive, est-il possible d'envisager qu'à terme aucun des salariés de cette entreprise n'utilise sa voiture personnelle pour aller au travail ? Justifier la réponse

      La suite $\left(a_n\right)$ converge vers ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ ce qui signifie, qu'à terme ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ des salariés de cette entreprise utilisera sa voiture personnelle pour aller au travail.

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