sujet : Nouvelle Calédonie

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau ci-dessous donne, d'après un échantillon de 800 personnes interrogées en 2005, un aperçu de la lecture de la presse quotidienne en France.

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale et éventuellement arrondis à 0,001 près.

partie i

1. La dernière ligne du tableau ci-dessus représente la part de chaque catégorie par rapport à l'échantillon total. Calculer les valeurs manquantes de cette dernière ligne.

   Nous avons $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{77}{800}}=\mathrm{0,09625}& \text{et}& {\displaystyle \frac{548}{800}}=\mathrm{0,685}\end{array}$$ D'où le tableau complété :

   Sources : INSEE/DEPS

   	Tous les jours ou presque	Une ou deux fois par semaine	Seulement pendant certaines périodes	Rarement	Jamais	Total
   Agriculteurs exploitants	1	10	2	8	79	100
   Artisans, commerçants, chefs d'entreprise	11	11	5	7	66	100
   Cadres	17	16	10	18	39	100
   Professions intermédiaires	8	15	7	15	55	100
   Employés	6	7	4	9	74	100
   Ouvriers (y compris agricoles)	4	5	3	5	83	100
   Retraités	6	7	2	6	79	100
   Autres inactifs	5	9	4	9	73	100
   Total en effectif	58	80	37	77	548	800
   Pourcentages du total	7,25%	10%	4,625%	9,625%	68,5%	100%

2. Donner la probabilité qu'une personne choisie au hasard parmi les cadres ne lise jamais.

   Parmi les 100 cadres interrogés, 39 ne lisent jamais la presse quotidienne donc :

   La probabilité qu'une personne choisie au hasard parmi les cadres ne lise jamais la presse quotidienne est égale à 0,39.

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partie ii

On choisit au hasard une personne dans cet échantillon de 800 personnes. Dans cette partie, on note les évènements suivants :
B l'évènement : « la personne choisie ne lit jamais » ;
R l'évènement : « la personne choisie est retraitée » ;
C l'évènement : « la personne choisie est cadre ».

1. Calculer la probabilité de l'événement $\mathrm{B}\cap \mathrm{R}$

   Parmi les 800 personnes interrogées, 79 sont retraités et ne lisent jamais la presse quotidienne donc $$p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{R}\right)={\displaystyle \frac{79}{800}}=\mathrm{0,09875}$$

   Arrondie à 0,001 près, la probabilité de l'événement $\mathrm{B}\cap \mathrm{R}$ est égale à 0,099.

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2. Calculer la probabilité de l'événement $\mathrm{B}\cup \mathrm{C}$

   $$p\left(\mathrm{B}\cup \mathrm{C}\right)=p\left(\mathrm{B}\right)+p\left(\mathrm{C}\right)-p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{C}\right)$$

   Or d'après le tableau : $$\begin{array}{ccccc}p\left(\mathrm{B}\right)=\mathrm{0,685}& ;& p\left(\mathrm{C}\right)={\displaystyle \frac{100}{800}}=\mathrm{0,125}& \text{et}& p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{C}\right)={\displaystyle \frac{39}{800}}=\mathrm{0,04875}\end{array}$$

   D'où $$p\left(\mathrm{B}\cup \mathrm{C}\right)=\mathrm{0,685}+\mathrm{0,125}-\mathrm{0,04875}=\mathrm{0,76125}$$

   Arrondie à 0,001 près, la probabilité de l'événement $\mathrm{B}\cup \mathrm{C}$ est égale à 0,761.

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partie iii

On s'intéresse maintenant uniquement aux personnes lisant la presse tous les jours ou presque.

1. On choisit au hasard une personne dans cet ensemble. Quelle est la probabilité que cette personne soit cadre ?

   Il y a 17 cadres parmi les 58 personnes qui lisent la presse tous les jours ou presque par conséquent, la probabilité que la personne choisie soit un cadre est :$${\displaystyle \frac{17}{58}}\approx \mathrm{0,2931}$$

   Arrondie à 0,001 près, la probabilité la personne choisie parmi les personnes lisant la presse tous les jours ou presque soit un cadre est égale à 0,293.

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2. On choisit au hasard et de manière indépendante trois de ces personnes. Calculer la probabilité que parmi ces trois personnes, deux exactement soient cadres.

   Dans cette question, on s'intéresse uniquement à la réalisation de l'évènement C ou à sa non réalisation $\overline{C}$ (de probabilité $1-\mathrm{0,293}=\mathrm{0,707}$ ). Il s'agit donc de la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes, modélisées par l'arbre ci-dessous :

   La loi de probabilité associée au nombre de cadres, est une loi binomiale de paramètres 0,293 et 3.

   Il n'y a que trois issues $CC\overline{C}$, $C\overline{C}C$ et $\overline{C}CC$ correspondant à l'évènement E "deux exactement sont des cadres ". D'où $$p\left(E\right)=3\times {\mathrm{0,293}}^2\times \mathrm{0,707}\approx \mathrm{0,182}$$

   Arrondie au millième, la probabilité que sur les trois personnes , deux exactement sont des cadres est égale à 0,182.

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