sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

1. 1. En 2007, le commerce de détail en France a généré un chiffre d'affaires de 447 milliards d'euros. (Source : INSEE). En 2007, quelle est la part du chiffre d'affaires du commerce équitable par rapport à celui du commerce de détail ? (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,001 %).

      $${\displaystyle \frac{\mathrm{0,210}}{447}}\approx \mathrm{0,00047}$$

      En 2007, le chiffre d'affaires du commerce équitable représente environ 0,047% du chiffre d'affaires du commerce de détail.

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   2. Calculer le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires du commerce équitable en France entre 2005 et 2008 (on donnera le résultat en pourcentage arrondi à 1 %).

      $${\displaystyle \frac{256-120}{120}}\times 100\approx \mathrm{113,3}$$

      Le chiffre d'affaires du commerce équitable en France a augmenté d'environ 113% entre 2005 et 2008.

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   Dans la suite de l'exercice, on souhaite estimer en quelle année le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007.

2. Ajustement affine

   1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$$\left(1⩽i⩽8\right)$ dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1 cm pour une année en abscisse et 1 cm pour 20 millions d'euros en ordonnée ; l'origine du repère sera prise dans le coin gauche de la feuille de papier millimétré).

   2. À l'aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite D d'ajustement de y en x. Les coefficients seront arrondis au dixième. Tracer la droite D dans le repère précédent.

      Une équation de la droite D d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{36,8}x-54$ (coefficients arrondis au dixième)

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      La droite D tracée dans le repère précédent, passe par les points de coordonnées $\left(\mathrm{1,5};\mathrm{1,2}\right)$ et $\left(\mathrm{8,5};\mathrm{258,8}\right)$

   3. En utilisant cet ajustement affine, à partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 ?

      Le rang de l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{cccc}\mathrm{36,8}n-54⩾420& \iff & n⩾{\displaystyle \frac{474}{\mathrm{36,8}}}& \approx \mathrm{12,9}\end{array}$$ Soit $n=13$.

      Avec ce modèle, le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 à partir de 2013.

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3. Ajustement parabolique

   Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   L'allure du nuage suggère de choisir un ajustement parabolique. On propose d'ajuster le nuage par la parabole P d'équation $y=3x^2+7x-4$, x étant un nombre réel supérieur ou égal à 1.
   En utilisant cet ajustement, en quelle année peut-on prévoir que le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 ?

   Avec cet ajustement, le rang de l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 est le plus petit entier n tel que $$\begin{array}{ccc}3n^2+7n-4⩾420& \iff & 3n^2+7n-424⩾0\end{array}$$

   Cherchons les racines du polynôme du second degré $3x^2+7x-424$ avec $a=3\text{, }b=7\text{ et }c=-424$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=9+4\times 7\times 424=5137\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-7-\sqrt{5137}}{6}}\approx -\mathrm{13,1}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{3+\sqrt{5137}}{6}}\approx \mathrm{10,8}\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire que le plus petit entier n tel que $3n^2+7n-424⩾0$ est $n=11$

   Avec ce modèle, le chiffre d'affaires du commerce équitable en France dépassera le double de celui de 2007 à partir de 2011.

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