sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
Le comité d'entreprise d'une société parisienne souhaite organiser un week-end en province.
Une enquête est faite auprès des 1 200 employés de cette entreprise afin de connaître leur choix en matière de moyen de transport (les seuls moyens de transport proposés sont le train, l'avion ou l'autocar).

partie a

1. Calculer les probabilités $p\left(F\right)$, $p\left(T\right)$ puis déterminer la probabilité que l'employé ne choisisse pas le train (on donnera les résultats sous forme décimale).

   $$\begin{array}{ccccc}p\left(F\right)={\displaystyle \frac{720}{1200}}=\mathrm{0,6}& ;& p\left(T\right)={\displaystyle \frac{618}{1200}}=\mathrm{0,515}& ;& p\left(\overline{T}\right)=1-p\left(T\right)=1-\mathrm{0,515}=\mathrm{0,485}\end{array}$$

   Ainsi, $p\left(F\right)=\mathrm{0,6}$, $p\left(T\right)=\mathrm{0,515}$ et $p\left(\overline{T}\right)=\mathrm{0,485}$

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2. Expliquer ce que représente l'évènement $F\cap T$, puis calculer sa probabilité.
   Les évènements T et F sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

   $F\cap T$ est l'évènement : « l'employé est une femme qui choisit le train ».

   $$\begin{array}{ccc}p\left(F\cap T\right)={\displaystyle \frac{468}{1200}}=\mathrm{0,39}& \text{et}& p\left(F\right)\times p\left(T\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,515}=\mathrm{0,309}\end{array}$$

   La probabilité qu'un employé soit une femme qui choisit le train est $p\left(F\cap T\right)=\mathrm{0,39}$
   $p\left(F\right)\times p\left(T\right)\ne p\left(F\cap T\right)$ donc les évènements T et F ne sont pas indépendants.

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3. L'employé interrogé au hasard ne choisit pas le train. Calculer la probabilité que cet employé soit une femme (on donnera le résultat arrondi au millième).

   La probabilité de l'évènement F sachant que l'évènement $\overline{T}$ est réalisé est : $$p_{\overline{T}}\left(F\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap \overline{T}\right)}{p\left(\overline{T}\right)}}$$

   Or d'après la formule des probabilités totales $p\left(F\right)=p\left(F\cap T\right)+p\left(F\cap \overline{T}\right)$ d'où $p\left(F\cap \overline{T}\right)=p\left(F\right)-p\left(F\cap T\right)$. Soit $$p\left(F\cap \overline{T}\right)=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,39}=\mathrm{0,21}$$

   Par conséquent, $$p_{\overline{T}}\left(F\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,21}}{\mathrm{0,485}}}\approx \mathrm{0,433}$$

   La probabilité qu'un employé soit une femme sachant que cet employé n'a pas choisi le train est $p_{\overline{T}}\left(F\right)\approx \mathrm{0,433}$

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partie b

1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.

   • 40 % des employés inscrits choisissent la formule n^o 1 alors $p\left(U\right)=\mathrm{0,4}$ et $p\left(D\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$

   • IndépendammentOn considère deux événements A et B de probabilités non nulles.
     Les événements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de l'un ne dépend pas de la réalisation de l'autre. C'est à dire : $$\begin{array}{ccc}{p}_A\left(B\right)=p\left(B\right)& \text{ou}& p_B\left(A\right)=p\left(A\right)\end{array}$$ de la formule choisie, 80 % des employés inscrits choisissent l'excursion facultative alors $p_U\left(E\right)=p\left(E\right)=\mathrm{0,8}$ et $p_D\left(E\right)=p\left(E\right)=\mathrm{0,8}$

   D'où l'arbre de probabilités correspondant à cette situation :

2. Montrer que la probabilité que l'employé inscrit choisisse la formule n^o 2 et l'excursion facultative est égale à 0,48.

   Les évènements D et E sont indépendantsOn considère deux évènements A et B de probabilités non nulles.
   Dire que les deux évènements A, B sont indépendants signifie que $p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)\times p\left(B\right)$. alors $$\begin{array}{ccc}p\left(D\cap E\right)=p\left(D\right)\times p\left(E\right)& \text{Soit}& p\left(D\cap E\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,48}\end{array}$$

   La probabilité que l'employé inscrit choisisse la formule n^o 2 et l'excursion facultative est égale à 0,48.

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3. Soit C le coût total du voyage (excursion comprise).

   1. Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre C.

      • l'employé inscrit choisit la formule n^o 1 et l'excursion facultative est égale alors $C=150+30=180$

      • l'employé inscrit choisit uniquement la formule n^o 1 alors $C=150$

      • l'employé inscrit choisit la formule n^o 2 et l'excursion facultative est égale alors $C=100+30=130$

      • l'employé inscrit choisit uniquement la formule n^o 1 alors $C=100$

      L'ensemble des différentes valeurs que peut prendre C est $\left\{100;130;150;180\right\}$

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   2. Déterminer la loi de probabilité de C.

      Comme dans la deuxième question, nous avons $$\begin{array}{ccc}p\left(U\cap E\right)=p\left(U\right)\times p\left(E\right)& \text{Soit}& p\left(U\cap E\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,8}=\mathrm{0,32}\\ p\left(U\cap \overline{E}\right)=p\left(U\right)\times p\left(\overline{E}\right)& \text{Soit}& p\left(U\cap \overline{E}\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,08}\\ p\left(D\cap \overline{E}\right)=p\left(D\right)\times p\left(\overline{E}\right)& \text{Soit}& p\left(D\cap \overline{E}\right)=\mathrm{0,6}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,12}\end{array}$$

      D'où la loi de probabilité du coût C.

      Coût total en euros $C_i$	100	130	150	180
      Probabilité $p_i$	0,12	0,48	0,08	0,32

   3. Calculer l'espérance de cette loi. Interpréter le résultat.

      L'espérance mathématique de cette loi est :$$100\times \mathrm{0,12}+130\times \mathrm{0,48}+150\times \mathrm{0,08}+180\times \mathrm{0,32}=144$$

      Le coût de moyen du voyage (excursion comprise) est de 144 euros par participant.

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