sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ par $f\left(x\right)=ax+b-{\displaystyle \frac{16}{x}}$ où a et b sont des nombres réels.
On admet que f est dérivable sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ et on note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur cet intervalle.
La courbe représentative de f, donnée en annexe, coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 1 et 4 et admet une tangente horizontale au point A de coordonnées $\left(2;4\right)$.

1. 1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f\left(1\right)$, $f\left(2\right)$, $f\left(4\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

      • La courbe représentative de f coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 1 et 4 alors $f\left(1\right)=0$ et $f\left(4\right)=0$

        ---

      • La courbe représentative de f admet une tangente horizontale au point A de coordonnées $\left(2;4\right)$ alors $f\left(2\right)=4$ et $f\prime \left(2\right)=0$

        ---

   2. En utilisant deux des quatre résultats de la question 1. a, déterminer les valeurs des réels a et b.

      $f\left(1\right)=0$ d'où $a+b-16=0$ et $f\left(4\right)=0$ d'où $4a+b-4=0$. Ainsi, a et b sont solutions du système $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{ccc}\hfill a+b& =& \hfill 16\\ \hfill 4a+b& =& \hfill 4\end{array}& \iff & \{\begin{array}{ccc}\hfill a+b& =& \hfill 16\\ \hfill 3a& =& \hfill -12\end{array}\hfill & \iff & \{\begin{array}{ccc}\hfill a& =& \hfill -4\\ \hfill b& =& \hfill 20\end{array}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, f est la fonction définie sur $\left[1;6\right]$ par $f\left(x\right)=-4x+20-{\displaystyle \frac{16}{x}}$.

      ---

2. On admet que la fonction f est définie sur $\left[1;6\right]$ par $f\left(x\right)=-4x+20-{\displaystyle \frac{16}{x}}$.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ puis étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;6\right]$.

      $$f\prime \left(x\right)=-4+{\displaystyle \frac{16}{x^2}}={\displaystyle \frac{16-4x^2}{x^2}}$$

      Soit $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4\left(2-x\right)\left(2+x\right)}{x^2}}$

      ---

   2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ en précisant uniquement les valeurs de $f\left(1\right)$, $f\left(2\right)$ et $f\left(4\right)$.

      $f\left(1\right)=-4+20-16=0$, $f\left(2\right)=-8+20-8=4$ et $f\left(4\right)=-16+20-4=0$.

      À partir de la question précédente, nous pouvons déduire le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;6\right]$

      x	1		2	4	6
      Variations de f	0		4

   3. En déduire le signe de $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[1;6\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[1;2\right]$, la fonction f est strictement croissante donc pour tout réel $1<x<2$, $f\left(1\right)<f\left(x\right)<f\left(2\right)$ Soit $0<f\left(x\right)<4$

      • Sur l'intervalle $\left[2;6\right]$, la fonction f est strictement décroissante et $f\left(4\right)=0$ donc si $2<x<4$ alors $f\left(x\right)>0$.

      D'où le tableau établissant le signe de $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ :

      x	1		4		6
      Signe de $f\left(x\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

3. On considère la fonction F définie sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ par $F\left(x\right)=-2x^2+20x-18-16\ln x$.

   1. Montrer que F est la primitive de la fonction f sur $\left[1;6\right]$ telle que $F\left(1\right)=0$.

      Les primitives de la fonction f sont les fonctions F définies sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ par $F\left(x\right)=-4\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+20x-16\times \ln \left(x\right)+c$ où c est un réel. Soit $F\left(x\right)=-2x^2+20x-16\ln x+c$

      Or $F\left(1\right)=0$ d'où $$\begin{array}{ccc}-2+20+c=0& \iff & c=-18\end{array}$$

      Ainsi, la fonction F définie sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ par $F\left(x\right)=-2x^2+20x-18-16\ln x$ est la primitive de la fonction f qui s'annule pour $x=1$.

      ---

   2. En utilisant les résultats des questions précédentes, dresser le tableau de variations de la fonction F sur l'intervalle $\left[1;6\right]$, les valeurs seront arrondies au millième.

      Les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f

      x	1		4		6
      Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Variations de F	0		$F\left(4\right)$		$F\left(6\right)$

      Avec $$\begin{array}{cc}& F\left(4\right)=-32+80-18-16\ln 4=30-32\ln 2\approx \mathrm{7,819}\hfill \\ \text{et}& F\left(6\right)=-72+120-18-16\ln 6=30-16\ln 6\approx \mathrm{1,332}\hfill \end{array}$$

partie b

Une entreprise fabrique des pièces pour assemblage de moteurs qu'elle conditionne par centaines. Sa fabrication journalière varie entre 100 et 600 pièces. L'objectif est d'étudier le bénéfice quotidien réalisé par cette entreprise.
Une étude a montré que le bénéfice marginal quotidien de cette entreprise est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, appelée fonction « bénéfice marginal». Pour x compris entre 1 et 6, x est exprimé en centaines de pièces fabriquées et vendues quotidiennement et $f\left(x\right)$ est exprimé en milliers d'euros.
En économie, la fonction « bénéfice marginal » est considérée comme la dérivée d'une fonction appelée fonction « bénéfice ».
On sait de plus que le bénéfice de l'entreprise est nul pour la fabrication et la vente quotidienne de 100 pièces.

Dans ces questions toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

1. Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal. En déduire le bénéficie maximal (on donnera ce bénéfice maximal arrondi à l'unité d'euro).

   La fonction « bénéfice marginal » f est considérée comme la dérivée d'une fonction appelée fonction « bénéfice » qui s'annule pour la fabrication et la vente quotidienne de ne centaine de pièces. Par conséquent, la fonction « bénéfice » est modélisée par la primitive F de la fonction f telle que $F\left(1\right)=0$.

   Ainsi, la fonction « bénéfice » est modélisée par la fonction F définie sur l'intervalle $\left[1;6\right]$ par $F\left(x\right)=-2x^2+20x-18-16\ln x$ où x est exprimé en centaines de pièces fabriquées et vendues quotidiennement et $F\left(x\right)$ est exprimé en milliers d'euros.

   D'après le tableau des variations de la fonction F, le bénéficie maximal $F\left(4\right)\approx \mathrm{7,819}$est obtenu pour la fabrication et la vente de 400 pièces.

   Le bénéfice maximal est de 7 819 € obtenu pour la fabrication et la vente de 400 pièces. .

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2. Déterminer la quantité de pièces à fabriquer et à vendre quotidiennement pour que l'entreprise réalise un bénéfice supérieur à 3 000 € (on donnera le résultat arrondi à l'unité).

   L'entreprise réalise un bénéfice supérieur à 3 000 € pour x, exprimé en centaines de pièces, solution de l'inéquation $F\left(x\right)⩽3$. Soit $$-2x^2+20x-18-16\ln x⩽3$$

   Or nous ne savons pas résoudre algébriquement cette inéquation. Nous allons donc utiliser les variations de la fonction F ainsi que le théorème de la valeur intermédiaire.

   • Sur l'intervalle $\left[1;4\right]$, F est continue, strictement croissante et $F\left(1\right)⩽3⩽F\left(4\right)$ alors d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $F\left(x\right)=3$ admet une solution unique $x_0$ appartenant à l'intervalle $\left[1;4\right]$. Une valeur approchée de $x_0$ obtenue à la calculatrice est $x_0\approx \mathrm{2,023}$

     Comme F est strictement croissante sur $\left[1;4\right]$, on en déduit que si $\mathrm{2,03}⩽x⩽4$ alors $F\left(x\right)⩽3$

   • Sur l'intervalle $\left[4;6\right]$, F est continue, strictement décroissante et $F\left(6\right)⩽3⩽F\left(4\right)$ alors d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $F\left(x\right)=3$ admet une solution unique $x_1$ appartenant à l'intervalle $\left[4;6\right]$. Une valeur approchée de $x_1$ obtenue à la calculatrice est $x_1\approx \mathrm{5,7305}$

     Comme F est strictement décroissante sur $\left[4;6\right]$, on en déduit que si $4⩽x⩽\mathrm{5,73}$ alors $F\left(x\right)⩽3$

   L'entreprise réalise un bénéfice supérieur à 3 000 € pour la fabrication et la vente d'un nombre de pièces compris entre 203 et 573.

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