sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, trois réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,75 point. Une réponse fausse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.

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1. Dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ , l'équation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^2$ admet :

   f est dérivable sur $\left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;+\infty \right[$ donc continue sur chacun des intervalles où elle est dérivable.

   • Sur l'intervalle $\left]0;\ln 2\right]$, f est continue, strictement décroissante et ${\mathrm{e}}^2\in \left[2\ln \left(2\right)+3;+\infty \right[$ alors d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^2$ admet une solution unique $x_0$ appartenant à l'intervalle $\left]0;\ln 2\right]$.

   • Sur l'intervalle $\left[\ln 2;+\infty \right[$, f est continue, strictement croissante et ${\mathrm{e}}^2\in \left[2\ln \left(2\right)+3;+\infty \right[$ alors d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^2$ admet une solution unique $x_1$ appartenant à l'intervalle $\left[\ln 2;+\infty \right[$.

   Par conséquent, l'équation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^2$ admet deux solutions sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

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   aucune solution

   une unique solution

   deux solutions

2. La tangente à la courbe C au point d'abscisse $\ln \left(\mathrm{1,5}\right)$ admet un coefficient directeur :

   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse $\ln \left(\mathrm{1,5}\right)$ est égal au nombre dérivé $f\prime \left(\ln \left(\mathrm{1,5}\right)\right)$

   Sur l'intervalle $\left]0;\ln 2\right]$, f est strictement décroissante donc pour tout réel $0<x⩽\ln 2$ nous avons $f\prime \left(x\right)⩽0$. Par conséquent, le tableau des variations de la fonction f ne permet pas de conclure à propos de l'inégalité stricte, nous devons calculer $f\prime \left(x\right)$. $$\begin{array}{cc}& f\prime \left(x\right)=2+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x\left({\mathrm{e}}^x-1\right)-{\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)}^2}}=2-{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)}^2}}\hfill \\ \text{et}& f\prime \left(\ln \mathrm{1,5}\right)=2-{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\ln \mathrm{1,5}}}{{\left({\mathrm{e}}^{\ln \mathrm{1,5}}-1\right)}^2}}=2-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{{\left(\mathrm{1,5}-1\right)}^2}}=-4\hfill \end{array}$$

   strictement positif

   strictement négatif

   nul

3. $f\left[-\ln \left(2\right)\right]$ est égal à :

   $$\begin{array}{ccc}f\left(-\ln 2\right)& =& -2\ln 2+1+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{-\ln 2}}{{\mathrm{e}}^{-\ln 2}-1}}\hfill \\ & =& -2\ln 2+1+{\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}}\hfill \\ & =& -2\ln 2\hfill \\ & =& \ln \left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\hfill \end{array}$$

   $-2\ln \left(2\right)+3$

   $\ln \left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)$

   $-2\ln \left(2\right)+1$

4. La courbe C admet au voisinage de $+\infty$ une asymptote d'équation :

   Pour tout réel $x\ne 0$, $${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x-1}}={\displaystyle \frac{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)+1}{{\mathrm{e}}^x-1}}=1+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}}$$

   D'où $$f\left(x\right)=2x+1+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x-1}}=2x+2+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}}$$

   Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}}=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(2x+2\right)=0$ alors, la droite d'équation $y=2x+2$ est asymptote à la courbe C au voisinage de $+\infty$.

   $y=2x+2$

   $y=2x+1$

   $x=0$

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