Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ne rapporte ni n'enlève aucun point.

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ , la courbe $(C_{f})$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $[- 6; 6]$ .
La droite (T) d'équation $y = x + 3$ est tangente à la courbe $(C_{f})$ au point I de coordonnées $(0; 3)$ .

Le nombre dérivé de f en 0 est égal à :
Le nombre dérivé $f' (0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe $(C_{f})$ au point d'abscisse 0. Donc $f' (0) = 1$
1. 0
2. 1
3. 3
On pose $J = \int_{- 1}^{0} f (x) d x$ . On peut affirmer que :
La fonction f est dérivable sur l'intervalle $[- 6; 6]$ donc continue sur cet intervalle. D'autre part, sur l'intervalle $[- 1; 0]$ la courbe $(C_{f})$ est au dessus de l'axe des abscisses. Par conséquent, l'intégrale $\int_{- 1}^{0} f (x) d x$ mesure en unités d'aire, l'aire du domaine compris entre la courbe $(C_{f})$ , l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = - 1$ et l'axe des ordonnées. C'est un nombre positif.
La proposition c est la seule susceptible de convenir.
1. $- 2 < J < 0$
2. $- 4 < J < - 2$
3. $2 < J < 4$
On appelle F une primitive de f sur l'intervalle $[- 6; 6]$ :
Dire que F est une primitive de f sur l'intervalle $[- 6; 6]$ signifie que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[- 6; 6]$ , $F' (x) = f (x)$ . Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de f.
Or sur l'intervalle $[- 1; 5]$ , la courbe $(C_{f})$ est au dessus de l'axe des abscisses donc pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[- 1; 5]$ , $f (x) > 0$ . Donc :
1. F est croissante sur l'intervalle $[- 3; 2]$
2. F est décroissante sur l'intervalle $[- 1; 5]$
3. F est croissante sur l'intervalle $[- 1; 5]$
On considère la fonction g définie sur l'intervalle $[- 6; 6]$ par : $g (x) = \exp [f (x)] = e^{f (x)}$ . On peut affirmer que :
La fonction exponentielle est strictement croissante donc les fonctions u et $e^{u}$ ont les mêmes variations sur tout intervalle où u est définie. Donc :
1. la fonction g a les mêmes variations que f sur l'intervalle $[- 6; 6]$
2. la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $[- 6; 6]$
3. la fonction g a les variations inverses de celles de f sur l'intervalle $[- 6; 6]$

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