On considère la fonction f définie sur l'intervalle par .
La fonction f est dérivable sur l'intervalle I et on note sa fonction dérivée.
Étudier la limite de f en .
La fonction f est définie sur l'intervalle on étudie alors la limite de f en avec
et donc par composition des limites, .
D'autre part, . Donc
Ainsi,
Montrer que la fonction est définie sur l'intervalle I par .
Pour tout réel x de l'intervalle I,
Ainsi, la fonction est définie sur l'intervalle I par .
Déterminer le signe de sur l'intervalle I et donner le tableau des variations de f .
Pour tout réel x appartenant à l'intervalle , . Par conséquent, est du même signe que l'expression sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de f :
x | 0 | 1 | |||||
+ | − | ||||||
2 |
.
Montrer que, sur l'intervalle , l'équation admet une unique solution α.
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante, et . Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
L'équation admet une unique solution α appartenant à l'intervalle
Donner une valeur approchée à 10− 2 près par défaut de α .
Une valeur approchée à 10− 2 près par défaut de α obtenue à la calculatrice est .
Une entreprise, fournisseur d'énergie, envisage d'installer un parc d'éoliennes en pleine mer.
L'installation du parc en mer nécessite un câblage coûteux et délicat, mais le fait d'éloigner les éoliennes des turbulences dues aux reliefs de la côte améliore leur rendement.
On note x la distance en dizaines de kilomètres séparant le parc de la côte.
Pour des raisons techniques, l'installation doit se faire entre deux et douze kilomètres de la côte, c'est-à-dire qu'on a .
Un service spécialisé, au sein de l'entreprise, arrive à la modélisation suivante :
Si l'installation se fait à x dizaines de kilomètres de la côte, le bénéfice en centaines de milliers d'euros réalisé, par année de fonctionnement du parc, est donné par .
À combien de kilomètres de la côte le fournisseur d'énergie doit-il placer le parc pour que son bénéfice soit maximal ?
D'après l'étude de la partie A, la fonction f admet un maximum atteint pour .
Pour que son bénéfice soit maximal, le fournisseur d'énergie doit placer le parc à 10 kilomètres de la côte.
Déterminer le bénéfice réalisé, en euros, en plaçant le parc à cette distance.
.
Le bénéfice maximum est de 200 milliers d'euros.
À partir de quelle distance x de la côte, exprimée en dizaines de kilomètres, le bénéfice dépasse-t-il 190 000 euros ?
D'après l'étude de la partie A, la fonction f est croissante sur l'intervalle et . Donc :
Le bénéfice dépassera 190 000 euros à partir d'une distance supérieure à α. Soit à une distance supérieure à 7,5 kilomètres de la côte.
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