Baccalauréat juin 2011 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Centres Étrangers

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle I=[0;32[ par f(x)=ln(-2x+3)+2x.
La fonction f est dérivable sur l'intervalle I et on note f sa fonction dérivée.

  1. Étudier la limite de f en 32.

    La fonction f est définie sur l'intervalle [0;32[ on étudie alors la limite de f en 32 avec x<32

    limx32(-2x+3)=0 et limX0ln(X)=- donc par composition des limites, limx32ln(-2x+3)=-.
    D'autre part, limx322x=3. Donc limx32-ln(-2x+3)+2x=-

    Ainsi, limx32-f(x)=-


    1. Montrer que la fonction f est définie sur l'intervalle I par f(x)=-4x+4-2x+3.

      Pour tout réel x de l'intervalle I, f(x)=-2-2x+3+2f(x)=-2+2×(-2x+3)-2x+3f(x)=-4x+4-2x+3

      Ainsi, la fonction f est définie sur l'intervalle I par f(x)=-4x+4-2x+3.


    2. Déterminer le signe de f(x) sur l'intervalle I et donner le tableau des variations de f .

      Pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;32[, -2x+3>0. Par conséquent, f(x) est du même signe que l'expression -4x+4 sur l'intervalle [0;32[.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de f :

      x0 1  32 
      f(x) +0||   
      f(x)

      ln3

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      2

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -

        

      f(1)=ln(1)+2=2.

    1. Montrer que, sur l'intervalle [0;1], l'équation f(x)=1,9 admet une unique solution α.

      Sur l'intervalle [0;1], la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante, et ln3<1,9<2. Alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

      L'équation f(x)=1,9 admet une unique solution α appartenant à l'intervalle [0;1]


    2. Donner une valeur approchée à 10− 2 près par défaut de α .

      Une valeur approchée à 10− 2 près par défaut de α obtenue à la calculatrice est α0,74.


partie b : Application de la partie A

Une entreprise, fournisseur d'énergie, envisage d'installer un parc d'éoliennes en pleine mer.
L'installation du parc en mer nécessite un câblage coûteux et délicat, mais le fait d'éloigner les éoliennes des turbulences dues aux reliefs de la côte améliore leur rendement.
On note x la distance en dizaines de kilomètres séparant le parc de la côte.
Pour des raisons techniques, l'installation doit se faire entre deux et douze kilomètres de la côte, c'est-à-dire qu'on a 0,2x1,2.
Un service spécialisé, au sein de l'entreprise, arrive à la modélisation suivante :
Si l'installation se fait à x dizaines de kilomètres de la côte, le bénéfice en centaines de milliers d'euros réalisé, par année de fonctionnement du parc, est donné par f(x).

    1. À combien de kilomètres de la côte le fournisseur d'énergie doit-il placer le parc pour que son bénéfice soit maximal ?

      D'après l'étude de la partie A, la fonction f admet un maximum atteint pour x=1.

      Pour que son bénéfice soit maximal, le fournisseur d'énergie doit placer le parc à 10 kilomètres de la côte.


    2. Déterminer le bénéfice réalisé, en euros, en plaçant le parc à cette distance.

      f(1)=2.

      Le bénéfice maximum est de 200 milliers d'euros.


  1. À partir de quelle distance x de la côte, exprimée en dizaines de kilomètres, le bénéfice dépasse-t-il 190 000 euros ?

    D'après l'étude de la partie A, la fonction f est croissante sur l'intervalle [0;1] et f(α)=1,9. Donc :

    Le bénéfice dépassera 190 000 euros à partir d'une distance supérieure à α. Soit à une distance supérieure à 7,5 kilomètres de la côte.



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