sujet : Centres Étrangers

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la fonction f , définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;10\right]$ et tout réel y de l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $f\left(x;y\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}xy$.
La représentation graphique de la surface (S) d'équation $z=f\left(x;y\right)$ dans un repère  orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ est donnée en annexe.

partie a

1. Sur le graphique de l'annexe colorer la courbe de niveau (Γ) de cote 10. Donner la nature de cette courbe.

   Soit $D_f$ l'ensemble de définition de la fonction f. C'est à dire l'ensemble de tous les couples de tous les couples $\left(x;y\right)$ qui admettent une image par f.

   La courbe de niveau (Γ) de cote 10 est l'intersection du plan d'équation $z=10$ avec la surface (S).
   La projection orthogonale de cette courbe sur le plan $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ est l'ensemble des points $M\left(x;y\right)$ tels que $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{4}}xy=10\hfill \\ \left(x;y\right)\in D_f\hfill \end{array}& \text{Soit}& \{\begin{array}{c}y={\displaystyle \frac{40}{x}}\hfill \\ \left(x;y\right)\in D_f\hfill \end{array}\end{array}$$

   La courbe (Γ) est la partie de l'hyperbole d'équation $y={\displaystyle \frac{40}{x}}$ avec $\left(x;y\right)\in D_f$.

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2. Placer sur le graphique de l'annexe le point C d'ordonnée 5 appartenant à cette courbe (Γ). Déterminer graphiquement l'abscisse de ce point.

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   Graphiquement, l'abscisse du point C est 8.

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3. Vérifier que le point B de coordonnées $\left(6;2;3\right)$ appartient à la surface (S).

   $${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 6\times 2=3$$

   Les coordonnées du point B vérifient l'équation de la surface (S) donc le point $B\left(6;2;3\right)$ appartient à la surface (S).

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partie b

Les membres du bureau du foyer socio-éducatif d'un lycée font une étude pour déterminer quelle cotisation demander par élève au cours de l'année 2010.
Ils voudraient investir le quart des cotisations dans la rénovation de la salle de détente, réservée aux élèves.
Si la cotisation s'élève à x euros avec $0⩽x⩽10$ et si y centaines d'élèves adhèrent au foyer avec $0⩽y⩽8$, la somme allouée aux travaux de rénovation de la salle de détente en centaines d'euros sera égale à $f\left(x;y\right)$.

1. Quelle est la somme allouée à la rénovation de la salle de détente lorsque la cotisation est fixée à 6 euros par élève et que 600 élèves sont adhérents au foyer ?

   $${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 6\times 6=9$$

   La somme allouée à la rénovation de la salle de détente est de 900 euros.

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2. Les membres du foyer font l'hypothèse que le nombre y, en centaines d'adhérents, et le nombre x, en euros, sont directement liés par la relation $y=12-x$

   1. Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer $f\left(x;y\right)$ en fonction de la seule variable x sous la forme $h\left(x\right)=3x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$.

      Sous cette contrainte, nous avons : $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{c}f\left(x;y\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}xy\hfill \\ y=12-x\hfill \\ \left(x;y\right)\in D_f\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}f\left(x;y\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}x\times \left(12-x\right)\hfill \\ y=12-x\hfill \\ \left(x;y\right)\in D_f\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}f\left(x;y\right)=3x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2\hfill \\ y=12-x\hfill \\ \left(x;y\right)\in D_f\hfill \end{array}\end{array}$$

      Ainsi, sous cette contrainte, on peut exprimer $f\left(x;y\right)$ en fonction de la seule variable x sous la forme $h\left(x\right)=3x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$.

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   2. Déterminer pour quelle valeur de x la somme allouée sera la plus élevée.

      L'ensemble des contraintes $y=12-x$, $0⩽x⩽10$ et $0⩽y⩽8$ se traduit par $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}0⩽12-x⩽8\hfill \\ 0⩽x⩽10\hfill \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}-12⩽-x⩽-4\hfill \\ 0⩽x⩽10\hfill \end{array}\end{array}$$ Soit $4⩽x⩽10$

      Ainsi, h est la restriction à l'intervalle $\left[4;10\right]$ de la fonction polynôme du second degré définie par $h\left(x\right)=3x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$. Sur $ℝ$, le maximum de la fonction polynôme est atteint pour : $$x={\displaystyle \frac{-3}{2\times \left(-\frac{1}{4}\right)}}=6$$

      Comme $6\in \left[4;10\right]$

      La somme allouée à la rénovation de la salle de détente sera la plus élevée avec une cotisation de 6 euros.

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   3. De quelle somme en euros disposeront les membres du foyer pour la rénovation dans ce cas ?

      $$h\left(6\right)=3\times 6-{\displaystyle \frac{1}{4}}\times ;6^2=9$$

      Les membres du foyer pour disposeront d'une somme de 900 euros pour la rénovation de la salle de détente.

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