Soit f une fonction définie sur l'ensemble . On note la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.
On suppose que f est dérivable sur chacun des intervalles et et on note la fonction dérivée de f.
Soit F une primitive de la fonction f sur l'intervalle .
On suppose que f admet le tableau de variation ci-dessous :
x | 1 | 6 | |||||||
f | 2 | 3 |
Pour chacune des huit affirmations ci-dessous, une seule de ces trois propositions convient :
vraie ou fausse ou les informations données ne permettent pas de conclure
Recopier sur la copie le numéro de la question et la proposition choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point.
L'équation admet une unique solution sur .
La droite d'équation est asymptote à la courbe .
Pour tout réel x appartenant à l'intervalle , .
La fonction F est décroissante sur l'intervalle .
existe pour tout x appartenant à .
Soit g la fonction définie sur par .
.
.
L'objet de l'exercice consiste à étudier les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs (pacte civil de solidarité) signés entre partenaires de sexe opposé en France à partir de l'année 2000.
Le tableau suivant donne le nombre de mariages en France, en milliers, de 2000 à 2008.
Année | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
Rang de l'année | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Nombre de mariages en milliers | 305 | 296 | 286 | 283 | 278 | 283 | 274 | 274 | 265 |
Pour i entier variant entre 0 et 8, on a représenté en annexe 1 dans le plan muni d'un repère orthogonal le nuage de points associé à cette série.
Écrire une équation de la droite d'ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième).
Représenter D dans le repère de l'annexe 1.
En utilisant cet ajustement affine, déterminer par la méthode de votre choix une estimation du nombre de mariages en France en 2012 (le résultat sera arrondi au millier).
Le tableau suivant donne le nombre de pacs signés entre partenaires de sexe opposé en France, en milliers, de 2000 à 2008.
Année | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
Rang de l'année | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Nombre de pacs | 16 | 15 | 21 | 26 | 33 | 53 | 64 | 96 | 138 |
Représenter dans le repère de l'annexe 1 le nuage points associé à cette nouvelle série statistique.
L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. Pour i entier variant entre 0 et 8 on pose .
Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant où Zi est arrondi au centième :
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
2,77 |
Une équation de la droite d'ajustement affine de Z en x par la méthode des moindres carrés est (les coefficients étant arrondis au centième).
En utilisant la relation , justifier la relation : .
En utilisant cet ajustement, donner une estimation du nombre de pacs signés en France entre personnes de sexe opposé en 2012 (arrondir au millier).
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Si les évolutions du nombre de mariages et du nombre de pacs signés entre personnes de sexe opposé en France se poursuivent selon les modèles décrits dans les parties A et B, estimer à partir de quelle année le nombre de pacs dépassera celui des mariages.
Une session du baccalauréat se compose de deux parties :
Ce second groupe d'épreuves concerne les candidats n'ayant pas obtenu le bac à l'issue du premier groupe, mais ayant obtenu une moyenne générale supérieure ou égale à 08/20.
Les résultats au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session de juin 2010 à l'issue du premier groupe d'épreuves sont les suivants :
Le taux final de réussite au baccalauréat ES, en France métropolitaine et DOM, pour la session 2010 à l'issue des deux groupes d'épreuves est 86,1 %.
On interroge au hasard un candidat ayant passé le baccalauréat ES en 2010. On note :
On peut modéliser la situation par l'arbre (partiellement pondéré) ci-dessous, qu'on ne demande pas de compléter pour l'instant :
Si X est un évènement, on note sa probabilité.
Dans cet exercice les résultats demandés seront arrondis au millième.
Donner les valeurs des probabilités suivantes : ; et .
On appelle A l'évènement : « le candidat interrogé a obtenu son baccalauréat » : on a donc .
Montrer que et interpréter ce résultat.
Calculer , probabilité de l'évènement sachant que l'évènement O est réalisé. Interpréter ce résultat.
Recopier et compléter l'arbre partiellement pondéré, donné ci-dessus.
On interroge au hasard trois candidats ayant passé le baccalauréat ES en 2010 pour savoir s'ils l'ont obtenu. On suppose que le nombre de candidats à cette session est suffisamment grand pour considérer ces trois réponses comme indépendantes.
Calculer la probabilité que les trois candidats aient été admis.
Calculer la probabilité qu'au moins deux des candidats aient été admis.
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre
On considère le graphe Γ ci-dessous :
Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? (La réponse devra être justifiée). Si oui donner une telle chaîne.
Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? (La réponse devra être justifiée). Si oui donner un tel cycle.
Donner la matrice M associée au graphe Γ (les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique : E ; H ; L ; O ; P ; T ; W).
La classe de Terminale d'Arthur est en voyage scolaire en Angleterre.
Les professeurs organisateurs de ce voyage décident de visiter plusieurs sites de Londres.
Les sites retenus dans Londres sont les suivants : Warren Street, Oxford Circus, Piccadilly Circus, Leicester Square, Holborn, Embankment et Temple. Ces lieux sont désignés respectivement par les lettres W, O, P, L, H, E et T et sont représentés dans le graphe Γ donné ci-dessus (chaque sommet représente un site à visiter et chaque arête une route reliant deux sites).
Les élèves sont laissés en autonomie deux heures pour faire du shopping et ramener des souvenirs à leurs familles. Le point de rendez-vous avec les organisateurs est fixé à Temple. Les temps de parcours en minutes entre chaque sommet ont été ajoutés sur le graphe.
Arthur, qui est à Oxford Circus, n'a pas vu le temps passer. Lorsqu'il s'en rend compte, il ne lui reste plus que 40 minutes pour arriver à Temple.
Déterminer le plus court chemin en minutes reliant Oxford Circus à Temple. Justifier la réponse à l'aide d'un algorithme.
Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ? Arthur sera-t-il en retard ?
Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées, à partir de l'année 2011, grâce à la fonction f définie sur l'intervalle par de sorte que représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l'estimation de la quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l'année 2000 + x.
On admet que la fonction f est continue et dérivable sur l'intervalle et on note sa fonction dérivée sur cet intervalle.
Calculer l'estimation du nombre de barils de pétrole à découvrir en 2011 d'après ce modèle (on arrondira le résultat au billion près).
Déterminer la limite de la fonction f en .
Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle puis dresser son tableau de variations.
Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours d'une même année, 15 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?
Si oui, déterminer, en justifiant, cette (ces) année(s).
Si non, justifier la réponse.
Selon ce modèle, peut-on envisager qu'au cours de chaque année à partir de 2011, au moins 6 000 billions de barils de pétrole soient découverts ?
Si oui, justifier la réponse.
Si non, déterminer, en justifiant, l'année pour laquelle les découvertes de pétrole deviendront strictement inférieures à 6 000 billions de barils.
Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle .
Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie à l'unité près, de l'intégrale I suivante :
En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l'on peut espérer découvrir par an d'après ce modèle, entre les années 2011 et 2021.
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